Intervalo de predicción de Bootstrap

¿Existe alguna técnica de arranque disponible para calcular los intervalos de predicción para predicciones puntuales obtenidas, por ejemplo, de regresión lineal u otro método de regresión (k-vecino más cercano, árboles de regresión, etc.)?

De alguna manera, siento que la forma a veces propuesta de simplemente reiniciar la predicción de puntos (ver, por ejemplo, Intervalos de predicción para la regresión de kNN ) no es proporcionar un intervalo de predicción sino un intervalo de confianza.

Un ejemplo en R

# STEP 1: GENERATE DATA

set.seed(34345)

n <- 100 
x <- runif(n)
y <- 1 + 0.2*x + rnorm(n)
data <- data.frame(x, y)


# STEP 2: COMPUTE CLASSIC 95%-PREDICTION INTERVAL
fit <- lm(y ~ x)
plot(fit) # not shown but looks fine with respect to all relevant aspects

# Classic prediction interval based on standard error of forecast
predict(fit, list(x = 0.1), interval = "p")
# -0.6588168 3.093755

# Classic confidence interval based on standard error of estimation
predict(fit, list(x = 0.1), interval = "c")
# 0.893388 1.54155


# STEP 3: NOW BY BOOTSTRAP
B <- 1000
pred <- numeric(B)
for (i in 1:B) {
  boot <- sample(n, n, replace = TRUE)
  fit.b <- lm(y ~ x, data = data[boot,])
  pred[i] <- predict(fit.b, list(x = 0.1))
}
quantile(pred, c(0.025, 0.975))
# 0.8699302 1.5399179

Obviamente, el intervalo de arranque básico del 95% coincide con el intervalo de confianza del 95%, no con el intervalo de predicción del 95%. Entonces mi pregunta: ¿Cómo hacerlo correctamente?

El método presentado a continuación es el descrito en la Sección 6.3.3 de Davidson y Hinckley (1997), Bootstrap Methods and These Application . Gracias a Glen_b y su comentario aquí . Dado que había varias preguntas sobre Cross Validated sobre este tema, pensé que valía la pena escribirlo.

El modelo de regresión lineal es:

$$\begin{align} Y_i &= X_i\beta+\epsilon_i \end{align}$$

Tenemos datos, , que utilizamos para estimar la β como: beta$i=1,2,\ldots,N$$\beta$

$$\begin{align} \hat{\beta}_{\text{OLS}} &= \left( X'X \right)^{-1}X'Y \end{align}$$

Ahora, queremos predecir qué será para un nuevo punto de datos, dado que conocemos X para él. Este es el problema de predicción. Llamemos a la nueva X (que conocemos) X N + 1 y a la nueva Y (que nos gustaría predecir), Y N + 1 . La predicción habitual (si suponemos que ϵ i es iid y no está correlacionada con X ) es: Y p N + $Y$$X$$X$$X_{N+1}$$Y$$Y_{N+1}$$\epsilon_i$$X$

$$\begin{align} Y^p_{N+1} &= X_{N+1}\hat{\beta}_{\text{OLS}} \end{align}$$

El error de pronóstico realizado por esta predicción es:

$$\begin{align} e^p_{N+1} &= Y_{N+1}-Y^p_{N+1} \end{align}$$

Podemos reescribir esta ecuación como:

$$\begin{align} Y_{N+1} &= Y^p_{N+1} + e^p_{N+1} \end{align}$$

Ahora, ya hemos calculado. Entonces, si queremos vincular Y N + 1 en un intervalo, digamos, el 90% del tiempo, todo lo que tenemos que hacer es estimar consistentemente los percentiles / cuantiles de 5 t h y 95 t h de e p N + 1 , llame al ellos e 5 , e 95 , y el intervalo de predicción será [ $Y^p_{N+1}$$Y_{N+1}$$5^{th}$$95^{th}$$e^p_{N+1}$$e^5,e^{95}$.$\left[Y^p_{N+1}+e^5,Y^p_{N+1}+e^{95} \right]$

¿Cómo estimar los cuantiles / percentiles de ? Bueno, podemos escribir: e p N + $e^p_{N+1}$

$$\begin{align} e^p_{N+1} &= Y_{N+1}-Y^p_{N+1}\\ &= X_{N+1}\beta + \epsilon_{N+1} - X_{N+1}\hat{\beta}_{\text{OLS}}\\ &= X_{N+1}\left( \beta-\hat{\beta}_{\text{OLS}} \right) + \epsilon_{N+1} \end{align}$$

La estrategia será muestrear (en forma de arranque) muchas veces a partir de y luego calcular los percentiles de la manera habitual. Entonces, tal vez muestrearemos 10,000 veces de e p N + 1 , y luego estimaremos los percentiles 5 t h y 95 t h como los 500 t h y 9 , 500 t h miembros más pequeños de la muestra.$e^p_{N+1}$$e^p_{N+1}$$5^{th}$$95^{th}$$500^{th}$$9,500^{th}$

Para dibujar en , podemos iniciarla errores (casos estaría bien, también, pero estamos asumiendo errores iid de todos modos). Así, en cada replicación de inicio, se dibuja N veces con la sustitución de los residuos de la varianza ajustados (véase el siguiente párrafo) para obtener ε * i , a continuación, hacer nuevos Y * i = X i β MCO$X_{N+1}\left( \beta-\hat{\beta}_{\text{OLS}} \right)$$N$$\epsilon^*_i$ , a continuación, ejecutar MCO en el nuevo conjunto de datos, ( Y ∗ , X $Y^*_i=X_i\hat{\beta}_{\text{OLS}}+\epsilon^*_i$$\left(Y^*,X \right)$para obtener esta replicación . En el último, el sorteo de esta replicación en X N + 1 ( β - β OLS ) es X N + 1 ( β OLS - β * r$\beta^*_r$$X_{N+1}\left( \beta-\hat{\beta}_{\text{OLS}} \right)$$X_{N+1}\left( \hat{\beta}_{\text{OLS}}-\beta^*_r \right)$

Dado que asumimos iid , la forma natural de tomar muestras de la parte ϵ N + 1 de la ecuación es usar los residuos que tenemos de la regresión, { e ∗ 1 , e ∗ 2 , ... , e ∗ N } . Los residuos tienen variaciones diferentes y generalmente demasiado pequeñas, por lo que tendremos que tomar muestras de { s 1 - ¯ s , s 2$\epsilon$$\epsilon_{N+1}$$\left\{ e^*_1,e^*_2,\ldots,e^*_N \right\}$$\left\{ s_1-\overline{s},s_2-\overline{s},\ldots,s_N-\overline{s} \right\}$, los residuos con corrección de varianza, donde yhies el apalancamiento de la observacióni.$s_i=e^*_i/\sqrt{(1-h_i)}$$h_i$$i$

Y, finalmente, el algoritmo para hacer un intervalo de predicción del 90% para , dado que X es X N + 1 es:$Y_{N+1}$$X$$X_{N+1}$

1. Hacer la predicción .$Y^p_{N+1}=X_{N+1}\hat{\beta}_{\text{OLS}}$
2. $\left\{ s_1-\overline{s},s_2-\overline{s},\ldots,s_N-\overline{s}\right\}$$s_i=e_i/\sqrt(1-h_{i})$
3. $r=1,2,\ldots,R$
   • $N$$\left\{\epsilon^*_1,\epsilon^*_2,\ldots,\epsilon^*_N \right\}$
   • Generate bootstrap $Y^*=X\hat{\beta}_{\text{OLS}}+\epsilon^*$
   • Calculate bootstrap OLS estimator for this replication, $\beta^*_r=\left( X'X \right)^{-1}X'Y^*$
   • Obtain bootstrap residuals from this replication, $e^*_r=Y^*-X\beta^*_r$
   • Calculate bootstrap variance-adjusted residuals from this replication, $s^*-\overline{s^*}$
   • Draw one of the bootstrap variance-adjusted residuals from this replication, $\epsilon^*_{N+1,r}$
   • Calculate this replication's draw on $e^p_{N+1}$, $e^{p*}_r=X_{N+1}\left( \hat{\beta}_{\text{OLS}}-\beta^*_r \right)+\epsilon^*_{N+1,r}$
4. Find $5^{th}$ and $95^{th}$ percentiles of $e^p_{N+1}$, $e^5,e^{95}$
5. 90% prediction interval for $Y_{N+1}$ is $\left[Y^p_{N+1}+e^5,Y^p_{N+1}+e^{95} \right]$.

Here is R code:

# This script gives an example of the procedure to construct a prediction interval
# for a linear regression model using a bootstrap method.  The method is the one
# described in Section 6.3.3 of Davidson and Hinckley (1997),
# _Bootstrap Methods and Their Application_.


#rm(list=ls())
set.seed(12344321)
library(MASS)
library(Hmisc)

# Generate bivariate regression data
x <- runif(n=100,min=0,max=100)
y <- 1 + x + (rexp(n=100,rate=0.25)-4)

my.reg <- lm(y~x)
summary(my.reg)

# Predict y for x=78:
y.p <- coef(my.reg)["(Intercept)"] + coef(my.reg)["x"]*78
y.p

# Create adjusted residuals
leverage <- influence(my.reg)$hat
my.s.resid <- residuals(my.reg)/sqrt(1-leverage)
my.s.resid <- my.s.resid - mean(my.s.resid)


reg <- my.reg
s <- my.s.resid

the.replication <- function(reg,s,x_Np1=0){
  # Make bootstrap residuals
  ep.star <- sample(s,size=length(reg$residuals),replace=TRUE)

  # Make bootstrap Y
  y.star <- fitted(reg)+ep.star

  # Do bootstrap regression
  x <- model.frame(reg)[,2]
  bs.reg <- lm(y.star~x)

  # Create bootstrapped adjusted residuals
  bs.lev <- influence(bs.reg)$hat
  bs.s   <- residuals(bs.reg)/sqrt(1-bs.lev)
  bs.s   <- bs.s - mean(bs.s)

  # Calculate draw on prediction error
  xb.xb <- coef(my.reg)["(Intercept)"] - coef(bs.reg)["(Intercept)"] 
  xb.xb <- xb.xb + (coef(my.reg)["x"] - coef(bs.reg)["x"])*x_Np1
  return(unname(xb.xb + sample(bs.s,size=1)))
}

# Do bootstrap with 10,000 replications
ep.draws <- replicate(n=10000,the.replication(reg=my.reg,s=my.s.resid,x_Np1=78))

# Create prediction interval
y.p+quantile(ep.draws,probs=c(0.05,0.95))

# prediction interval using normal assumption
predict(my.reg,newdata=data.frame(x=78),interval="prediction",level=0.90)


# Quick and dirty Monte Carlo to see which prediction interval is better
# That is, what are the 5th and 95th percentiles of Y_{N+1}
# 
# To do it properly, I guess we would want to do the whole procedure above
# 10,000 times and then see what percentage of the time each prediction 
# interval covered Y_{N+1}

y.np1 <- 1 + 78 + (rexp(n=10000,rate=0.25)-4)
quantile(y.np1,probs=c(0.05,0.95))