¿Por qué es simétrica una matriz de proyección de una proyección ortogonal?

Soy bastante nuevo en esto, así que espero que me perdones si la pregunta es ingenua. (Contexto: estoy aprendiendo econometría del libro "Teoría y métodos econométricos" de Davidson y MacKinnon , y no parecen explicar esto; también he visto el libro de optimización de Luenberger que trata las proyecciones en un nivel un poco más avanzado, pero sin suerte)

Supongamos que tengo una proyección ortogonal con está asociado proyección matriz . Estoy interesado en proyectar cada vector en en algún subespacio . $\mathbb P$ $\bf P$ $\mathbb{R}^n$ $A \subset \mathbb{R}^n$

Pregunta : ¿por qué se deduce que , es decir, es simétrico? ¿Qué libro de texto podría mirar para este resultado? $\bf{P}=P$ $^T$ $\bf P$

regression least-squares weez13
fuente

en.wikipedia.org/wiki/…

whuber

Respuestas:

Este es un resultado fundamental del álgebra lineal en proyecciones ortogonales. Un enfoque relativamente simple es el siguiente. Si son vectores ortonormales que abarcan un subespacio dimensional , y es la matriz con las 's como columnas, entonces Esto se deduce directamente del hecho de que la proyección ortogonal de sobre se puede calcular en términos de la base ortonormal de como Se sigue directamente de la fórmula anterior que $u_1, \ldots, u_m$ $m$ $A$ $\mathbf{U}$ $n \times p$ $u_i$

P = U U^{T} .

$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$

x

$x$

A

$A$

A

$A$

\sum_{i = 1}^{m} u_{i} u_{i}^{T} x .

$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$

P^{2} = P

$\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$ y que

P^{T} = P .

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

También es posible dar un argumento diferente. Si $\mathbf{P}$ es una matriz de proyección para una proyección ortogonal, entonces, por definición, para todos $x,y \in \mathbb{R}^n$

P x ⊥ y - P y .

$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$ En consecuencia,

0 = (P x)^{T} (y - P y) = x^{T} P^{T} (I - P) y = x^{T} (P^{T} - P^{T} P) y

$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$ para todos

x, y \in R^{n}

$x, y \in \mathbb{R}^n$ . Esto muestra que

P^{T} = P^{T} P

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ , de donde

P = (P^{T})^{T} = (P^{T} P)^{T} = P^{T} P = P^{T} .

$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$

NRH
fuente

¡Gracias por tu perspicaz comentario (s)! De alguna manera, el artículo de Wikipedia, que mencionaba algo sobre la autoajustación del operador de proyección, me rechazó, ya que sus pruebas no son tan difíciles. :) Por cierto, ¿tienes un texto de álgebra lineal favorito que se ocupe de este tipo de cosas?

weez13

El libro de álgebra lineal elemental que conozco mejor no cubre esto. Las mejores referencias que conozco son libros avanzados sobre análisis funcional. El libro de álgebra lineal bien hecho se ve bien, pero no lo sé.

NRH

Una nota: La respuesta de la HNR supone que . Es decir, el único caso en el que (como se afirma en la igualdad ) es cuando porque para cualquier mapa lineal y vector ,Esto no afecta realmente el resultado de la prueba, ya que la implicación de que es válida en ambos casos, pero pensé que valdría la pena mencionarlo.

x = x^{T}

$x = x^T$

(P x)^{T} = x P^{T}

$(Px)^T = xP^T$

(P x)^{T} (y - P y) = x P^{T} (I - P) y

$(Px)^T(y-Py)=xP^T(I-P)y$

x = x^{T}

$x = x^T$

P

$P$

x

$x$

(P x)^{T} = x^{T} P^{T} .

$(Px)^T = x^TP^T.$

P^{T} - P^{T} P = 0

$P^T - P^TP = 0$

Milan Mosse

@ Milan Gracias por notarlo. Observe que para solo es posible cuando , lo que no es interesante. Lo que sucedió simplemente es que se perdieron algunas transposiciones en las en la penúltima línea. He restaurado las transposiciones faltantes para corregir el álgebra.

x = x^{T}

$x=x^T$

x \in R^{n}

$x\in\mathbb{R}^n$

n = 1

$n=1$

x

$x$

whuber

Un intento de intuición geométrica ... Recordemos que:

Una matriz simétrica es auto adjunta.
Un producto escalar está determinado solo por los componentes en el espacio lineal mutuo (e independiente de los componentes ortogonales de cualquiera de los vectores).

Lo que quiere "ver" es que una proyección es auto adjunta y, por lo tanto, simétrica: siguiente (1). ¿Por qué esto es tan? Considere el producto escalar de un vector con la proyección de un segundo vector : . A continuación (2), el producto dependerá solo de los componentes de en el lapso de la proyección de . Por lo tanto, el producto debe ser el mismo que y también siguiendo el mismo argumento. $x$ $A$ $y$ $\langle x,Ay \rangle$ $x$ $y$ $\langle Ax,Ay \rangle$ $\langle Ax,y\rangle$

Como es auto adjunto, es simétrico. $A$

JohnRos
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¡Muchas gracias! Antes de leer su comentario, estaba bastante confundido acerca de por qué la auto-unión es crucial aquí. Ahora tengo alguna pista, ¡gracias!

weez13