¿Cuál es el error estándar de la desviación estándar de la muestra?

Lei de allí que el error estándar de la varianza de la muestra es

S {mi}_{s^{2}} = \sqrt{\frac{2 σ^{4 4}}{norte - 1}}

$SE_{s^2} = \sqrt{\frac{2 \sigma^4}{N-1}}$

Estaría tentado a adivinar y decir que pero no estoy seguro. $SE_{s} = \sqrt{SE_{s^2}}$

sampling standard-deviation standard-error Remi.b
fuente

¿Te refieres al error estándar de la varianza muestral / desviación estándar? En caso afirmativo, ¿alguna distribución en particular en mente?

Alecos Papadopoulos

Sí, esto es lo que quise decir. Edité mi publicación en respuesta a tu comentario, gracias. Me sorprende que me pregunten qué distribución tengo en mente. No hubiera esperado que importara. No, no tengo ninguna distribución en particular en mente. La forma de población de la que se toma mi muestra probablemente no sea normal. Probablemente está ligeramente sesgada y tiene colas muy largas.

Remi.b

Asintóticamente "no importa". En muestras finitas ciertamente lo hace. Para la respuesta asintótica, vea stats.stackexchange.com/a/105338/28746

Alecos Papadopoulos

Y luego pides el error estándar del error estándar del error estándar ...

kjetil b halvorsen

@Kjetil Tu pensamiento es divertido. Sin embargo, tenga en cuenta que el SE como se define aquí no es una variable aleatoria; No tiene error estándar. A menudo se estima el SE mediante el uso de una estimación de

y con frecuencia, por un abuso convencional del lenguaje, todavía se llama a ese SE estimado un "error estándar". Como tal, es una variable aleatoria y tendrá un error estándar. Estoy seguro de que conoce la distinción (y la tuvo en cuenta cuando escribió su comentario), pero quiero enfatizarla para que la gente no malinterprete la pregunta original como resultado de reflexionar sobre su comentario.

σ^{4}

$\sigma^4$

whuber

Respuestas:

Sea . Entonces, la fórmula para el SE de es: $\mu_4 = E(X-\mu)^4$ $s^2$

Esta es una fórmula exacta, válida para cualquier tamaño de muestra y distribución, y se demuestra en la página 438, de Rao, 1973, suponiendo que el

s mi (s^{2}) = \sqrt{\frac{1}{norte} (μ_{4 4} - \frac{norte - 3}{norte - 1} σ^{4 4})}

$se(s^2) = \sqrt{ \frac{1}{n}\left(\mu_4 -\frac{n-3}{n-1} \sigma^4\right)}$

μ_{4}

$\mu_4$ es finito. La fórmula que proporcionó en su pregunta se aplica solo a los datos distribuidos normalmente.

Dejar que . Usted quiere encontrar el SE de , donde $\hat{\theta} = s^2$ $g(\hat{\theta})$ $g(u) = \sqrt{u}$ .

No existe una fórmula exacta general para este error estándar, como señaló @Alecos Papadopoulos. Sin embargo, se puede generar un error estándar aproximado (muestra grande) mediante el método delta. (Ver entrada de Wikipedia para "método delta").

Así es como lo expresó Rao, 1973, 6.a.2.4. Incluyo los indicadores de valor absoluto, que omitió incorrectamente.

, donde es la primera derivada.

s mi (sol (\hat{θ})) \approx El | {sol}^{'} (\hat{θ}) El | \times s mi (\hat{θ})

$se(g(\hat{\theta})) \approx |g'(\hat\theta)|\times se(\hat{\theta})$

g^{'}

$g'$

Ahora para la función de raíz cuadrada $g$

{sol}^{'} (tu) = \frac{1}{2 {tu}^{1 / / 2}}

$g'(u) = \frac{1}{2\thinspace u^{1/2}}$

Entonces:

s mi (s) \approx \frac{1}{2 σ} s mi (s^{2})

$se(s)\approx \frac{1}{2 \sigma} se(s^2)$

En la práctica, estimaría el error estándar de bootstrap o jackknife.

Referencia:

CR Rao (1973) Inferencia estadística lineal y sus aplicaciones 2nd Ed, John Wiley & Sons, NY

Steve Samuels
fuente

+1 Es agradable ver estos resultados tan claramente presentados y explicados. Aunque no tengo a Rao 1973 delante de mí, esperaría que el factor multiplicativo en su fórmula sea

| g^{'} (\hat{θ}) |

$|g^\prime(\hat\theta)|$

Gracias. Tienes razón sobre el valor absoluto. Rao lo había omitido (ecuación 6.a.2.4 en las ediciones de 1968 y 1973). La prueba del método delta es realmente para la varianza, donde el multiplicador es [g '] ^ 2.

Steve Samuels

¿Cuál es el bootstrap y la navaja?

alpha_989

@ alpha_989 El métodos bootstrap y jackknife usan remuestreo para estimar la precisión. Son útiles porque no necesita hacer la propagación del error a mano.

Ben Jones