¿Generar pesos distribuidos uniformemente que sumen a la unidad?

Es común usar pesos en aplicaciones como el modelado de mezclas y combinar linealmente funciones básicas. Los pesos $w_i$ menudo deben obedecer $w_i ≥$ 0 y $\sum_{i} w_i=1$ . Me gustaría elegir aleatoriamente un vector de peso $\mathbf{w} = (w_1, w_2, …)$ de una distribución uniforme de dichos vectores.

Puede ser tentador usar $w_i = \frac{\omega_i}{\sum_{j} \omega_j}$ donde$\omega_i \sim$U (0, 1), sin embargo, como se analiza en los comentarios a continuación, la distribución deno es uniforme.$\mathbf{w}$

Sin embargo, dada la restricción , parece que la dimensionalidad subyacente del problema es , y que debería ser posible elegir a eligiendo parámetros n-1 de acuerdo con alguna distribución y luego calcular el \ mathbf {w} correspondiente a partir de esos parámetros (porque una vez que se especifica n-1 de los pesos, el peso restante está completamente determinado).$\sum_{i} w_i=1$$n-1$$\mathbf{w}$$n-1$$\mathbf{w}$$n-1$

El problema parece ser similar a la punto esfera recoger problema (pero, en lugar de recoger 3-vectores cuyos norma es la unidad, quiero recoger -vectors cuyos norma es la unidad).$ℓ_2$$n$$ℓ_1$

¡Gracias!

Elija uniformemente (por medio de n - 1 reales uniformes en el intervalo [ 0 , 1 ] ). Ordene los coeficientes de modo que 0 ≤ x 1 ≤ ⋯ ≤ x n - 1 . Conjunto$\mathbf{x} \in [0,1]^{n-1}$$n-1$$[0,1]$$0 \le x_1 \le \cdots \le x_{n-1}$

Como podemos recuperar la ordenada por medio de las sumas parciales de w i , el mapeo x → w es ( n - 1 ) . a 1; en particular, su imagen es el n - 1 simplex en R n . Debido a que (a) cada intercambio en una especie es una transformación lineal, (b) la fórmula anterior es lineal y (c) las transformaciones lineales preservan la uniformidad de las distribuciones, la uniformidad de x implica la uniformidad de w en el n - 1 simplex.$x_i$$w_i$$\mathbf{x} \to \mathbf{w}$$(n-1)!$$n-1$$\mathbb{R}^n$$\mathbf{x}$$\mathbf{w}$ $n-1$ En particular, tenga en cuenta que los marginales de no son necesariamente independientes.$\mathbf{w}$

Este gráfico de puntos 3D muestra los resultados de 2000 iteraciones de este algoritmo para . Los puntos se limitan al simplex y se distribuyen aproximadamente de manera uniforme sobre él.$n=3$

Debido a que el tiempo de ejecución de este algoritmo es , es ineficiente para n grande . ¡Pero esto responde la pregunta! Una mejor manera (en general) de generar valores distribuidos uniformemente en el n - 1 -simplex es dibujar n reales uniformes ( x 1 , ... , x n ) en el intervalo [ 0 , 1 ] , calcular$O(n \log(n)) \gg O(n)$$n$$n-1$$n$$(x_1, \ldots, x_n)$$[0,1]$

(que hace que cada positiva con probabilidad 1 , de donde su suma es casi seguramente distinto de cero) y conjunto$y_i$$1$

Esto funciona porque cada tiene una distribución Γ ( 1 ) , lo que implica que w tiene una distribución Dirichlet ( 1 , 1 , 1 ) , y eso es uniforme.$y_i$$\Gamma(1)$$\mathbf w$$(1,1,1)$

    zz <- c(0, log(-log(runif(n-1))))
    ezz <- exp(zz)
    w <- ezz/sum(ezz)

La primera entrada se pone a cero para su identificación; Vería que se hace en modelos logísticos multinomiales. Por supuesto, en modelos multinomiales, también tendría covariables debajo de los exponentes, en lugar de solo los zzs aleatorios . La distribución de zzs es la distribución de valor extremo; necesitarías esto para asegurarte de que los pesos resultantes estén en el lugar en el que inicialmente puse rnormals allí, pero luego tuve la sensación de que esto no va a funcionar.

La solución es obvia. El siguiente código MathLab proporciona la respuesta para 3 pesos.

function [  ] = TESTGEN( )
SZ  = 1000;
V  = zeros (1, 3);
VS = zeros (SZ, 3);
for NIT=1:SZ   
   V(1) = rand (1,1);     % uniform generation on the range 0..1
   V(2) = rand (1,1) * (1 - V(1));
   V(3) = 1 - V(1) - V(2);  
   PERM = randperm (3);    % random permutation of values 1,2,3
   for NID=1:3
         VS (NIT, NID) = V (PERM(NID));
    end
end 
figure;
scatter3 (VS(:, 1), VS(:,2), VS (:,3));
end