k-medias || también conocido como K-Means escalable ++

Bahman Bahmani y col. introdujo k-means ||, que es una versión más rápida de k-means ++.

Este algoritmo está tomado de la página 4 de su artículo , Bahmani, B., Moseley, B., Vattani, A., Kumar, R. y Vassilvitskii, S. (2012). Escalable k-significa ++. Actas de la Fundación VLDB , 5 (7), 622-633.

Desafortunadamente no entiendo esas elegantes letras griegas, así que necesito ayuda para entender cómo funciona esto. Por lo que yo entiendo, este algoritmo es una versión mejorada de k-means ++, y utiliza sobremuestreo, para reducir el número de iteraciones: k-means ++ tiene que iterar veces, donde k es el número de grupos deseados.$k$$k$

Obtuve una muy buena explicación a través de un ejemplo concreto de cómo funciona k-means ++, por lo que volveré a utilizar el mismo ejemplo.

Ejemplo

Tengo el siguiente conjunto de datos:

(7,1), (3,4), (1,5), (5,8), (1,3), (7,8), (8,2), (5,9), (8 , 0)

(número de grupos deseados)$k = 3$

(factor de sobremuestreo)$\ell = 2$

Empecé a calcularlo, pero no estoy seguro de si lo hice bien, y no tengo idea de los pasos 2, 4 o 5.

• Paso 1: muestrea un punto uniformemente al azar de $\mathcal{C} \leftarrow$$X$

  Digamos que el primer centroide es (igual que en k-means ++)$(8,0)$

• Paso 2: $\psi \leftarrow \phi_X(\mathcal{C})$

  ni idea

• Paso 3:

  • $d^2(x, \mathcal{C}) = [2, 41, 74, 73, 58, 65, 4, 90]$

    $(8,0)$

  • $\ell \cdot d^2(x, \mathcal{C}) = [4, 81, 148, 146, 116, 130, 8, 180]$

    $\ell = 2$

  • $\text{cumulative } \ell \cdot d^2(x, \mathcal{C}) = [4, 85, 233, 379, 495, 625, 633, 813]$

    $\ell = 2$$[0, 813)$$246.90$$659.42$$[379, 495)$$[633, 813)$

  • $\mathcal{O}(\log \psi)$$\psi$

• $x \in \mathcal{C}$$w_x$$X$$x$$\mathcal{C}$
• $\mathcal{C}$$k$

Cualquier ayuda en general o en este ejemplo particular sería genial.

puntos de datos: (7,1), (3,4), (1,5), (5,8), (1,3), (7,8), (8,2), (5,9) , (8,0)

l = 2 // factor de sobremuestreo

k = 3 // no. de grupos deseados

Paso 1:

$\mathcal{C}$$\{ c_1\} = \{ (8,0) \}$$X = \{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\}=\{(7,1),(3,4),(1,5),(5,8),(1,3),(7,8),(8,2),(5,9)\}$

Paso 2:

$\phi_X(\mathcal{C})$$X$$\mathcal{C}$$X$$\mathcal{C}$$X$

$d^2_{\mathcal{C}}(x_i)$$x_i$$\mathcal{C}$$\psi = \sum_{i=1}^{n}d^2_{\mathcal{C}}(x_i)$

$\mathcal{C}$$X$$d^2_{\mathcal{C}}(x_i)$$\mathcal{C}$$x_i$$\phi = \sum_{i=1}^{n}{||x_i-c||^2}$

$\psi = \sum_{i=1}^nd^2(x_i,c_1) = 1.41+6.4+8.6+8.54+7.61+8.06+2+9.4 = 52.128$ $log(\psi) = log(52.128) = 3.95 = 4 (rounded)$

$\mathcal{C}$

Paso 3:

$log(\psi)$

$X$$X$$x_i$$p_x = l d^2(x,\mathcal{C})/\phi_X(\mathcal{C})$$l$$d^2(x,\mathcal{C})$$\phi_X(\mathcal{C})$ se explica en el paso 2.

El algoritmo es simplemente:

• $X$$x_i$
• $x_i$$p_{x_i}$
• $[0, 1]$$p_{x_i}$$\mathcal{C'}$
• $\mathcal{C'}$$\mathcal{C}$

$l$$X$

for(int i=0; i<4; i++) {

  // compute d2 for each x_i
  int[] psi = new int[X.size()];
  for(int i=0; i<X.size(); i++) {
    double min = Double.POSITIVE_INFINITY;
    for(int j=0; j<C.size(); j++) {
      if(min>d2(x[i],c[j])) min = norm2(x[i],c[j]);
    }
    psi[i]=min;
  }

  // compute psi
  double phi_c = 0;
  for(int i=0; i<X.size(); i++) phi_c += psi[i];

  // do the drawings
  for(int i=0; i<X.size(); i++) {
    double p_x = l*psi[i]/phi;
    if(p_x >= Random.nextDouble()) {
      C.add(x[i]);
      X.remove(x[i]);
    }
  }
}
// in the end we have C with all centroid candidates
return C;

Etapa 4:

$w$$\mathcal{C}$$0$$X$$x_i \in X$$j$$\mathcal{C}$$w[j]$$1$$w$

double[] w = new double[C.size()]; // by default all are zero
for(int i=0; i<X.size(); i++) {
  double min = norm2(X[i], C[0]);
  double index = 0;
  for(int j=1; j<C.size(); j++) {
    if(min>norm2(X[i],C[j])) {
      min = norm2(X[i],C[j]);
      index = j;
    }
  }
  // we found the minimum index, so we increment corresp. weight
  w[index]++;
}

Paso 5:

$w$$k$$k$$p(i) = w(i)/\sum_{j=1}^m{w_j}$

for(int k=0; k<K; k++) {
  // select one centroid from candidates, randomly, 
  // weighted by w
  // see kmeans++ and you first idea (which is wrong for step 3)
  ... 
}  

Todos los pasos anteriores continúan, como en el caso de kmeans ++, con el flujo normal del algoritmo de agrupamiento

Espero que sea más claro ahora.

[Más tarde, más tarde editar]

También encontré una presentación hecha por autores, donde no se puede ver claramente que en cada iteración se puedan seleccionar varios puntos. La presentación está aquí .

[Más tarde editar el problema de @ pera]

$log(\psi)$

$C$$log(\psi)$

Otra cosa a tener en cuenta es la siguiente nota en la misma página que dice:

En la práctica, nuestros resultados experimentales en la Sección 5 muestran que solo unas pocas rondas son suficientes para alcanzar una buena solución.

$log(\psi)$