Definición de dependencia de la cola

He estado tratando de encontrar una definición simple y concisa de lo que es la dependencia de la cola. ¿Alguien podría compartir lo que cree que es?

En segundo lugar, si tuviera que trazar simulaciones usando diferentes cópulas en un gráfico, ¿cómo sabría cuáles exhiben dependencia de la cola?

La definición de dependencia de la cola superior de rv $X$ e $Y$ con sus respectivas distribuciones marginales F y G es: $\lim_{u \to 1} P\{ Y>G^{-1}(u)|X>F^{-1}(u))=\lambda_u$ (Embrechts et al. (2001)). Es la probabilidad de que Y alcance valores extremadamente grandes, dado que la variable aleatoria X alcanza valores extremadamente grandes. Por lo tanto, puede entenderse de una manera que cuanto más cerca esté $\lambda$ de uno, más cerca estará el vínculo entre X que alcanza valores altos e Y que alcanza valores grandes también.

Decir si las cópulas exhiben dependencia de la cola no es difícil en casos extremos: lo que importa es si las (dos) variables aparecen se comportan más de cerca en las esquinas del gráfico que en el centro.

La cópula gaussiana no tiene dependencia de la cola, aunque las variables aleatorias están altamente correlacionadas, parece que no hay una relación especial, ninguna de las variables alcanza valores grandes (en las esquinas de la tabla).

La ausencia de la dependencia de la cola se hace evidente cuando la trama se compara con la trama de simulaciones de los mismos marginales pero con cópula T-2.

Las cópulas T tienen la dependencia de la cola y la dependencia aumenta con la correlación y disminuye con el número de grados de libertad. Si se simularan más puntos, de modo que se cubriera una porción más grande del cuadrado de la unidad, casi veríamos los puntos como una línea delgada en las esquinas superior derecha e inferior izquierda. Pero incluso en el gráfico, es evidente que en los cuadrantes superior derecho e inferior izquierdo, es decir, donde ambas variables alcanzan valores muy bajos o muy altos, las dos variables parecen estar aún más estrechamente correlacionadas que en el cuerpo.

Los mercados financieros tienden a exhibir dependencia de la cola, especialmente una menor dependencia de la cola. Por ejemplo, los principales retornos de las acciones en tiempos normales tienen una correlación de aproximadamente 0.5, pero en septiembre / octubre de 2008, algunos pares tuvieron una correlación de más de 0.9, ambos cayeron masivamente. La cópula gaussiana se usó antes de las crisis para fijar el precio de los productos de crédito y, dado que no contaba con la dependencia de la cola, subestimó las pérdidas potenciales cuando muchos propietarios no pudieron pagar. Los pagos de un propietario pueden entenderse como variables aleatorias, y demostraron estar altamente correlacionados en el momento en que muchas personas comenzaron a tener problemas para pagar sus hipotecas. Dado que estos valores predeterminados estaban estrechamente relacionados debido a un clima económico adverso, los contras mostraron una dependencia de cola.

PD: Técnicamente hablando, las imágenes muestran distribuciones multivariadas generadas a partir de las cópulas y los marginales normales.

La dependencia de la cola es cuando la correlación entre dos variables aumenta a medida que avanza "más" en la cola (una o ambas) de la distribución. Compare una cópula Clayton con una cópula Frank.

El Clayton tiene dependencia de la cola izquierda. Eso significa que, a medida que avanza hacia la cola izquierda (valores más pequeños), las variables se vuelven más correlacionadas. El Frank (y gaussiano para el caso) es simétrico. Si la correlación es 0,45, es 0,45 en todo el tramo de la distribución.

Los sistemas económicos tienden a exhibir dependencia de la cola. Por ejemplo, tome el riesgo de crédito del reasegurador. Cuando las pérdidas generales son normales, si el reasegurador A o el reasegurador B incumplirán sus pagos a un asegurador puede parecer no correlacionado o muy débilmente correlacionado. Ahora imagine que sucedió una serie de bajas (como los huracanes Rita, Wilma, Ida, etc.). Ahora, todo el mercado está siendo golpeado uno tras otro con grandes solicitudes de pagos, lo que puede conducir a un problema de liquidez que muchos reaseguradores enfrentarán debido al alcance del problema y las demandas simultáneas de sus asegurados. Su capacidad de pago está mucho más correlacionada ahora. Este es un ejemplo en el que se requiere una cópula con dependencia de cola derecha.

La dependencia de la cola, al menos según tengo entendido, le explicó a alguien con antecedentes de estadísticas limitadas.

Imagina que tienes dos variables, X e Y. Con 100,000 observaciones de cada una. Las observaciones están unidas en un sentido. Tal vez se hayan generado usando una cópula o tenga los valores de retorno de dos acciones fuertemente correlacionadas en el transcurso de 100,000 períodos de tiempo.

Veamos el peor 1% de las observaciones para X. Eso es 1,000 observaciones. Ahora mire el valor correspondiente para Y en estas 1,000 observaciones. Si X e Y fueran independientes, esperaría que 10 observaciones de esas 1,000 observaciones sean parte de los peores valores del 1% de Y.

Es probable que el número real de observaciones sea superior a 10 cuando los valores de X e Y no son independientes en las colas, esto es lo que llamamos dependencia de la cola .