¿Por qué utilizar el método de Monte Carlo en lugar de una cuadrícula simple?

Al integrar una función o en simulaciones complejas, he visto que el método de Monte Carlo es ampliamente utilizado. Me pregunto por qué uno no genera una cuadrícula de puntos para integrar una función en lugar de dibujar puntos aleatorios. ¿No traería eso resultados más exactos?

Encontré los capítulos 1 y 2 de estas notas de clase útiles cuando me hice la misma pregunta hace unos años. Un breve resumen: una cuadrícula con puntos en 20 espacios dimensionales exigirá N 20 evaluaciones de funciones. Eso es mucho. Al usar la simulación de Monte Carlo, esquivamos la maldición de la dimensionalidad hasta cierto punto. La convergencia de una simulación de Monte Carlo es O ( N - 1 / 2 ) que es, aunque bastante lento, dimensionalmente independiente .$N$$N^{20}$$O(N^{-1/2})$

Claro que si; Sin embargo, viene con un uso de CPU mucho mayor. El problema aumenta especialmente en muchas dimensiones, donde las redes se vuelven efectivamente inutilizables.

Los comentarios anteriores son correctos en que la simulación es más fácil de usar en problemas multidimensionales. Sin embargo, hay formas de abordar su inquietud: eche un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/Halton_sequence y http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_grid .

Mientras que normalmente se considera el muestreo de rechazo cuando se considera Monte Carlo, Markov Chain Monte Carlo permite explorar un espacio de parámetros multidimensionales de manera más eficiente que con una cuadrícula (o muestreo de rechazo para el caso). Cómo MCMC se puede utilizar para la integración se indica claramente en este tutorial: http://bioinformatics.med.utah.edu/~alun/teach/stats/week09.pdf

Dos cosas -

1. Convergencia más rápida al evitar la maldición de la dimensionalidad. Debido a que la mayoría de los puntos en una cuadrícula se encuentran en el mismo hiperplano sin aportar información adicional significativamente. Los puntos aleatorios llenan el espacio N-dimensional de manera uniforme. LDS es aún mejor.

2. A veces, para los métodos de Monte Carlo, necesitamos puntos estadísticamente aleatorios sin ningún orden en particular. Una secuencia ordenada de puntos de cuadrícula dará como resultado propiedades estadísticas pobres.