Calcular el cuantil de la suma de distribuciones de cuantiles particulares

Supongamos $N$ variables aleatorias independientes para las cuales los cuantiles en algún nivel específico se conocen a través de la estimación de los datos: , ..., . Ahora definamos la variable aleatoria como la suma . ¿Hay alguna manera de calcular el valor del cuantil de la suma en el nivel , es decir, en ?$X_1, ..., X_N$$\alpha$$\alpha = P(X_1 < q_1)$$\alpha = P(X_N < q_N)$$Z$$Z = \sum_{i=1}^N X_i$$\alpha$$q_z$$\alpha = P(Z < q_Z)$

Creo que en casos particulares, como si sigue una distribución gaussiana esto, es fácil, pero no estoy tan seguro para el caso en el que se desconoce la distribución de . ¿Algunas ideas?$X_i$$\forall i$$X_i$

podría ser cualquier cosa.$q_Z$

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Para comprender esta situación, hagamos una simplificación preliminar. Al trabajar con obtenemos una caracterización más uniforme$Y_i = X_i - q_i$

$$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$$

Es decir, cada tiene la misma probabilidad de ser negativo. Porque$Y_i$

$$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$$

la ecuación definitoria para es equivalente a$q_Z$

$$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$$

con .$q_Z = q_W + \sum_i q_i$

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¿Cuáles son los valores posibles de ? Considere el caso donde todos tienen la misma distribución con toda probabilidad en dos valores, uno de ellos negativo ( ) y el otro positivo ( ). Los posibles valores de la suma están limitados a para . Cada uno de estos ocurre con probabilidadY i y - y + W k y - + ( n - k ) y + k = 0 , 1 , … , $q_W$$Y_i$$y_{-}$$y_{+}$$W$$ky_{-} + (n-k)y_{+}$$k=0, 1, \ldots, n$

$${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$$

Los extremos se pueden encontrar por

1. Elegir e para que ; e lograrán esto. Esto garantiza que será negativo, excepto cuando todos los sean positivos. Esta posibilidad es igual a . Supera cuando , lo que implica que el cuantil de debe ser estrictamente negativo. y $y_{-}$$y_{+}$y - = - n y + = 1 W Y i 1 - ( 1 - α ) n α n > 1 α $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$$y_{-}=-n$$y_{+}=1$$W$$Y_i$$1 - (1-\alpha)^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

2. Elegir e para que ; e lograrán esto. Esto garantiza que será negativo solo cuando todos los sean negativos. Esta posibilidad es igual a . Es menor que cuando , lo que implica que el cuantil de debe ser estrictamente positivo. y + ( n - 1 ) y - + y + > 0 y - = - 1 y + = n W Y i α n α n > 1 α $y_{-}$$y_{+}$$(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$$y_{-}=-1$$y_{+}=n$$W$$Y_i$$\alpha^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

Esto muestra que el cuantil de podría ser negativo o positivo, pero no es cero. ¿Cuál podría ser su tamaño? Tiene que igualar alguna combinación lineal integral de e . Hacer que estos valores sean enteros asegura que todos los valores posibles de sean integrales. Al escalar por un número positivo arbitrario , podemos garantizar que todas las combinaciones lineales integrales de e son múltiplos integrales de . Como , debe tener al menos tamaño de . Por consiguiente,W y - y + W y ± s y - y + s q W ≠ 0 s q W$\alpha$$W$$y_{-}$$y_{+}$$W$$y_{\pm}$$s$$y_{-}$$y_{+}$$s$$q_W \ne 0$$s$Los posibles valores de (y de donde ) son ilimitados,$q_W$$q_Z$ sin importar lo que pueda ser igual.$n\gt 1$

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La única forma de obtener información sobre sería hacer restricciones específicas y fuertes sobre las distribuciones de , para prevenir y limitar el tipo de distribuciones desequilibradas que se utilizan para obtener este resultado negativo.X $q_Z$$X_i$