Definición de cuantiles sobre una muestra ponderada

Tengo una muestra ponderada, para la cual deseo calcular cuantiles. ¹

Idealmente, donde los pesos son iguales (ya sea = 1 o no), los resultados serían consistentes con los de scipy.stats.scoreatpercentile()y R's quantile(...,type=7).

Un enfoque simple sería "multiplicar" la muestra usando los pesos dados. Eso efectivamente da un ecdf localmente "plano" en las áreas de peso> 1, que intuitivamente parece un enfoque incorrecto cuando la muestra es en realidad un submuestreo. En particular, significa que una muestra con pesos todos iguales a 1 tiene cuantiles diferentes que uno con pesos todos iguales a 2 o 3. (Tenga en cuenta, sin embargo, que el documento al que se hace referencia en [1] parece utilizar este enfoque).

http://en.wikipedia.org/wiki/Percentile#Weighted_percentile ofrece una formulación alternativa para el percentil ponderado. En esta formulación no está claro si las muestras adyacentes con valores idénticos deben combinarse primero y sumarse sus pesos, y en cualquier caso sus resultados no parecen ser consistentes con el tipo 7 predeterminado de R quantile()en el caso no ponderado / igualmente ponderado. La página de wikipedia sobre cuantiles no menciona el caso ponderado en absoluto.

¿Existe una generalización ponderada de la función cuantil "tipo 7" de R?

[usando Python, pero solo buscando un algoritmo, realmente, así que cualquier lenguaje funcionará]

METRO

[1] Los pesos son enteros; los pesos son los de las memorias intermedias que se combinan en las operaciones de "colapso" y "salida" como se describe en http://infolab.stanford.edu/~manku/papers/98sigmod-quantiles.pdf . Esencialmente, la muestra ponderada es un submuestreo de la muestra completa no ponderada, con cada elemento x (i) en la submuestra representando elementos de peso (i) en la muestra completa.

Este es un posible enfoque:

Supongamos que tiene una muestra ordenada $X_1 \le X_2 \le \cdots \le X_n$ con pesas respectivas $W_1, W_2, \ldots, W_n$.

Definir

$$S_k = (k-1) W_k+ (N-1) \sum_{i=1}^{k-1} W_i$$ entonces $S_1=0$ y $S_n = (N-1) \sum_{i=1}^{N} W_i$.

Para una interpolación de cuantil $p$, encontrar $k$ tal que $\frac{S_k}{S_n} \le p \le \frac{S_{k+1}}{S_n}$. Su estimación podría ser

$$X_k + (X_{k+1}-X_k)\frac{pS_n-S_k}{S_{k+1}-S_k}.$$

Creo que lo encontrarás si el $W_i$son todos iguales, entonces esto reproduce R-7. Hay otros enfoques que también lo hacen, pero sospecho que no tratan todos los pesos ordenados como igualmente importantes.