Regresión con variable independiente inversa

Supongamos que tengo un $N$ -vector $Y$ de variables dependientes, y un $N$ -vector $X$ de variable independiente. Cuando $Y$ se traza contra $\frac{1}{X}$ , veo que hay una relación lineal (tendencia al alza) entre los dos. Ahora, esto también significa que hay una tendencia a la baja lineal entre$Y$y$X$.

Ahora, si funciono la regresión: y obtener el valor ajustado Y = β$Y = \beta * X + \epsilon$$\hat{Y} = \hat{\beta}X$

Luego ejecuto la regresión: y obtengo el valor ajustado ~ Y = α$Y = \alpha * \frac{1}{X} + \epsilon$$\tilde{Y} = \hat{\alpha} \frac{1}{X}$

¿Serán los dos valores predichos, y aproximadamente iguales? ~ $\hat{Y}$$\tilde{Y}$

 Cuando Y se traza contra , veo que hay una relación lineal (tendencia al alza) entre los dos. Ahora, esto también significa que hay una tendencia lineal descendente entre Y y X$\frac{1}{X}$

La última oración es incorrecta: hay una tendencia a la baja, pero de ninguna manera es lineal:

Usé una como función además de un poco de ruido enY. Como puede ver, mientras trazaYcontra$f(x) = \frac{1}{x}$$Y$$Y$ produce un comportamiento lineal,Ycontra$\frac{1}{X}$$Y$$X$ está lejos de ser lineal.

(@whuber señala que la contra $Y$ trama X no parece homoscedastic. Creo que parece tener una mayor varianza paraYbajoporque la densidad de mayúsculas mucho más alta conduce a un rango mayor, que es esencialmente lo que percibimos. En realidad, los datos son homoscedastic: solíagenerar los datos, por lo que no depende del tamaño deX).$\frac{1}{X}$$Y$Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1)$X$

Entonces, en general, la relación es muy no lineal. Es decir, a menos que su rango de sea ​​tan estrecho que pueda aproximarse a d $X$Aquí hay un ejemplo:$\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$

Línea de fondo:

• En general, es muy difícil aproximar un Función de tipo X por una función lineal o polinómica. Y sin un término compensado, nunca obtendrá una aproximación razonable.$\frac{1}{X}$
• Si el intervalo es lo suficientemente estrecho como para permitir una aproximación lineal, de todos modos no podrá ver los datos para adivinar que la relación debería ser $X$ y no lineal (X).$\frac{1}{X}$$X$

No veo ninguna razón para que sean "aproximadamente iguales" en general, pero ¿qué quiere decir exactamente con aproximadamente igual?

Aquí hay un ejemplo de juguete:

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

La imagen:

El modelo "azul" sería mucho mejor si se le permitiera tener un término de intercepción (es decir, constante) ...