¿Son independientes las estimaciones de la intersección y la pendiente en la regresión lineal simple?

Considere un modelo lineal

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

y estimaciones de la pendiente y la intersección α y ß utilizando mínimos cuadrados ordinarios. Esta referencia durante la estadística matemática hace la declaración de que α y β son independientes (en su prueba de su teorema).$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

No estoy seguro de entender por qué. Ya que

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

¿No significa esto α y β se correlacionan? Probablemente me estoy perdiendo algo realmente obvio aquí.$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Vaya al mismo sitio en la siguiente subpágina:

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

Verá más claramente que especifican el modelo de regresión lineal simple con el regresor centrado en su media muestral . Y esto explica por qué posteriormente dicen que α y β son independientes. $\hat \alpha$$\hat \beta$

Para el caso en que los coeficientes se estiman con un regresor que no está centrado, su covarianza es

Así que ya ves que si utilizamos un regresor centra en , llamarlo ~ x , la expresión de covarianza anteriormente, se utilizará la media muestral de la variable independiente centrada, ~ ˉ x , que será igual a cero, por lo que, también, será cero, y los estimadores de coeficientes serán independientes.$\bar x$$\tilde x$$\tilde {\bar x}$

Esta publicación contiene más sobre álgebra OLS de regresión lineal simple.