¿Regresión polinomial ortogonal multivariante?

Como medio para motivar la pregunta, considere un problema de regresión en el que buscamos estimar utilizando las variables observadas { a , b $Y$$\{ a, b \}$

Cuando hago una regresión polinómica multivariada, trato de encontrar la paramitización óptima de la función

cuál se ajusta mejor a los datos en un sentido menos cuadrado.

El problema con esto, sin embargo, es que los parámetros no son independientes. ¿Hay alguna manera de hacer la regresión en un conjunto diferente de vectores "básicos" que son ortogonales? Hacer esto tiene muchas ventajas obvias$c_i$

1) los coeficientes ya no están correlacionados. 2) los valores de los propios ya no dependen del grado de los coeficientes. 3) Esto también tiene la ventaja computacional de poder eliminar los términos de orden superior para una aproximación más gruesa pero precisa de los datos.$c_i$

Esto se logra fácilmente en el caso de una variable única utilizando polinomios ortogonales, utilizando un conjunto bien estudiado como los polinomios de Chebyshev. Sin embargo, no es obvio (para mí de todos modos) cómo generalizar esto. Se me ocurrió que podía manipular polinomios chebyshev por parejas, pero no estoy seguro de si eso es lo matemáticamente correcto.

Tu ayuda es apreciada

Por el bien de la finalización (y para ayudar a mejorar las estadísticas de este sitio, ja) tengo que preguntarme si este documento también no respondería a su pregunta.

RESUMEN: Discutimos la elección de bases polinómicas para la aproximación de la propagación de la incertidumbre a través de modelos de simulación complejos con capacidad para generar información derivada. Nuestro trabajo es parte de un esfuerzo de investigación más amplio en cuantificación de incertidumbre utilizando métodos de muestreo aumentados con información derivada. El enfoque tiene nuevos desafíos en comparación con la regresión polinómica estándar. En particular, mostramos que un producto tensorial polinomial multivariado ortogonal de base de un grado arbitrario ya no se puede construir. Proporcionamos condiciones suficientes para que exista un conjunto ortonormal de este tipo, una base para el espacio que abarca. Demostramos los beneficios de la base en la propagación de incertidumbres materiales a través de un modelo simplificado de transporte de calor en el núcleo de un reactor nuclear. En comparación con el producto tensorial base polinómica de Hermite,

De lo contrario, la base tensor-producto de los polinomios unidimensionales no es solo la técnica adecuada, sino también la única que puedo encontrar para esto.