Estoy confundido porque ¿por qué necesitamos representar los números complejos con el eje y imaginario si simplemente podemos representarlos como (x, y)?
He leído que la Multiplicación por i es una rotación en sentido antihorario de un cuarto de círculo sobre el eje y.
Multiplicar 1 por i da i. Multiplicar i , por i una vez más, hace otro cuarto de círculo y da -1. Entonces, multiplicar por -1 significa una rotación de un semicírculo. Ese es el significado de i * i = -1.
Entonces, ¿qué se supone que significa eso?
Supongamos que estoy resolviendo una ecuación y terminé con una respuesta como 3i, ¿eso significa que me he movido del eje x al eje y por medio círculo en sentido antihorario? No pude poder visualizar esto correctamente
signal-analysis
Sufiyan Ghori
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Respuestas:
Sí, en el procesamiento de señales, los números complejos generalmente se visualizan en el plano complejo, como usted ha dicho.
La razón es que si los pones en un avión, entonces puedes medir dos cantidades importantes:
1) Magnitud , que esx2+y2−−−−−−√
2) Ángulo de fase entre su punto y el origen, dado por .tan−1yx
Si simplemente los dejara como un punto, ( , ), no podría concretar y tener un marco de trabajo para esas cantidades.x y
Usted puede preguntar, ¿por qué esas cantidades, a su vez, son importantes? En el procesamiento de señales, por supuesto, estamos tratando con señales, y físicamente, estamos tratando con señales 'reales'. Sin embargo, aunque es un buen truco, una oscilación constante de una cantidad en la vida 'real' (como una onda cosenoidal) es equivalente a dos fasores, que giran en direcciones opuestas en el plano complejo y se suman. Con este marco, podemos ver que los ángulos de fase se 'cancelan' entre sí, y que las magnitudes de su resultante nos dan la magnitud de nuestra señal 'real'.
De hecho, esto es lo que captura una de las fórmulas de Euler. Es decir:
Puede ver aquí cómo podemos relacionar fácilmente un concepto del mundo 'real', como una onda cosenoidal oscilante, con el mundo 'complejo' de fasores, tal como existen y giran en el plano complejo.
Esta es una de las piedras angulares de DSP.
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Para una definición de números complejos, la simbología "a + ib" y "(a, b)" son representaciones equivalentes siempre que las operaciones en esos símbolos sigan completamente el conjunto de reglas para la aritmética compleja (incluida la multiplicación que implica una rotación).
El significado es que la aritmética compleja que usa tales reglas aritméticas en realidad simplifica un montón de teoremas y cálculos (incluidas soluciones de raíces polinómicas, convergencia de series infinitas, etc.). El comportamiento de pares de cantidades reales en el mundo real a veces se puede aproximar estrechamente mediante modelos que usan la aritmética bajo tales reglas, y luego llamando a una de las cantidades "imaginaria" para que coincida con la simbología computacional utilizada en el modelo.
Considérelo un "truco" matemático que es demasiado útil para no usarlo. por ejemplo, Cardano y otros matemáticos italianos de la era del Renacimiento intentaron resolver ecuaciones cúbicas sin el uso de números complejos o imaginarios, y sus soluciones fueron mucho más largas debido a eso.
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Una forma de pensar en números complejos es ver como un "vector unitario" en la dirección del eje imaginario.i
De hecho, el uso de números complejos como vectores unitarios más tarde se convirtió en la base de las cuaterniones , que se usaron para representar cantidades de vectores antes del desarrollo del análisis moderno de vectores por Gibbs / Heaviside .
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