¿Cómo corresponde esta ecuación al suavizado?

Por favor, ayúdame a entender el suavizado de datos. Este es un seguimiento de mi pregunta anterior publicada aquí . Especialmente la respuesta principal de Junuxx, donde dice que una forma de suavizar una función es:$f(x)$

aquí podemos ver que para cada punto en , estamos tomando un promedio ponderado de ese punto y sus dos puntos adyacentes, para obtener una versión suavizada de llamada .$f[x]$$f[t]$$f'[t]$

Un documento sobre mejora del habla explica que una ecuación de la forma

nos ayuda a obtener el valor de y como un suavizado recursivo de x. Aquí actúa como un parámetro de suavizado y se calcula como$a[i]$

donde se calcula en otra parte y alfa es una constante. , , y son todas las matrices con elementos.$p[i]$$y[i]$$a[i]$$x[i]$$i$

¿Cómo puedo relacionar esta ecuación de con la ecuación de ? Ambos son para suavizar datos, sin embargo, la ecuación para contiene el promedio ponderado de puntos consecutivos en la matriz para , mientras que la ecuación para no contiene puntos de datos consecutivos para . ¿Cómo podemos comprender esta ecuación como un suavizado de datos en ?$y[i]$$f'[t]$$f'[t]$$f[x]$$y[i]$$x[i]$$x$

Si esta pregunta no es relevante cuando las ecuaciones se toman fuera de contexto, me complacerá proporcionar más detalles.

La primera ecuación que da es la ecuación de diferencia para un filtro FIR de paso bajo , o un filtro lineal con una respuesta de impulso que es de duración finita. Lo escribiré un poco diferente (para que sea expresamente discreto en el tiempo y causal ):

$f_s[n]$ es la versión suavizada de la secuencia de entrada de tiempo discreto , generada al pasar través de un filtro FIR con los coeficientes . La respuesta de frecuencia de este filtro es la siguiente:$f[n]$$f[n]$$[0.1, 0.8, 0.1]$

Como resultado, no es un muy buen filtro de paso bajo. Como su nombre lo indica, un filtro de paso bajo debería pasar contenido de baja frecuencia mientras elimina las frecuencias más altas. Esto proporciona la acción de "suavizado" que está buscando, ya que las características "irregulares" no uniformes se asocian con frecuencias altas, ya que cambian rápidamente con el tiempo.

Su segunda ecuación es un ejemplo de un filtro IIR de paso bajo , un filtro lineal cuya respuesta al impulso es de duración infinita. La ecuación de diferencia del filtro es:

donde es la entrada del filtro e es la salida del filtro. Este tipo de filtro a menudo se usa como un filtro de paso bajo de baja complejidad y a menudo se llama un integrador con fugas . Se ve favorecida por su implementación simple, baja complejidad computacional y su capacidad de ajuste: su frecuencia de corte depende del valor de . puede tomar valores en el intervalo . no produce ningún filtrado (la salida es igual a la entrada); A medida que aumenta, la frecuencia de corte del filtro disminuye. Puedes pensar en$x[n]$$y[n]$$\alpha$$\alpha$$[0,1)$$\alpha = 0$$\alpha$$\alpha = 1$ como un caso límite donde la frecuencia de corte es infinitamente baja (la salida del filtro es cero en todo momento).

Como ejemplo, si , la respuesta de frecuencia del filtro es la siguiente:$\alpha = 0.8$

que es un mejor filtro que su ejemplo FIR; produce una atenuación mucho mejor de las frecuencias hacia el extremo superior de la banda. Aunque podría no ser obvio al observar la ecuación de diferencia (debido a la retroalimentación de la salida del filtro de regreso a su entrada), efectivamente realiza el suavizado en la entrada debido a su naturaleza de paso bajo. No estoy seguro de si esta descripción será particularmente significativa para usted para su aplicación, pero estos son conceptos de procesamiento de señal bastante fundamentales; algún estudio de textos introductorios de DSP podría ayudar a llenar los vacíos.

Editar: a pedido, aquí hay un gráfico que muestra ambas respuestas en los mismos ejes, ilustrando la atenuación relativamente pobre proporcionada por el filtro de ejemplo FIR: