¿Cuándo son dos señales ortogonales?

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La definición clásica de ortogonalidad en álgebra lineal es que dos vectores son ortogonales, si su producto interno es cero.

Pensé que esta definición podría aplicarse también a las señales, pero luego pensé en el siguiente ejemplo:

Considere una señal en forma de onda sinusoidal y otra señal en forma de onda cosenoidal. Si los muestro a ambos, obtengo dos vectores. Mientras que el seno y el coseno son funciones ortogonales, el producto de los vectores muestreados casi nunca es cero, ni su función de correlación cruzada en t = 0 desaparece.

Entonces, ¿cómo se define la ortogonalidad en este caso? ¿O está mi ejemplo apagado?

orthogonal-signals usuario26311
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Como sabrás, la ortogonalidad depende del producto interno de tu espacio vectorial. En su pregunta usted declara que:

Mientras que el seno y el coseno son funciones ortogonales ...

Esto significa que probablemente haya oído hablar del producto interno "estándar" para espacios de funciones:

⟨ f, g ⟩ = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x) g (x) d x

$\langle f,g\rangle=\int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)g(x) \ \mathrm{d}x$

Si resuelve esta integral para $f(x)=\cos (x)$ y $g(x)=\sin(x)$ por un solo período, el resultado será $0$ : son ortogonales.

El muestreo de estas señales, sin embargo, está no relacionado con la ortogonalidad ni nada. Los "vectores" que obtienes cuando muestreas una señal son solo valores juntos que tienen sentido para ti : no son estrictamente vectores , son solo matrices (en la jerga de programación). El hecho de que los llamemos vectores en MATLAB o en cualquier otro lenguaje de programación puede ser confuso.

Es un poco complicado, en realidad, ya que uno podría definir un espacio vectorial de dimensión $N$ si usted tiene $N$ muestras para cada señal, donde esas matrices serían de hecho vectores reales . Pero eso definiría cosas diferentes.

Por simplicidad, supongamos que estamos en el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ y tu tienes $3$ muestras para cada señal, y todas ellas tienen un valor real. En el primer caso, un vector (es decir, tres números juntos) se referiría a una posición en el espacio. En el segundo, se refieren a tres valores que alcanza una señal en tres momentos diferentes. En este ejemplo, es fácil detectar la diferencia. Si tuvieras $n$ muestras, entonces la noción de "espacio" sería menos intuitiva, pero la idea aún se mantiene.

En pocas palabras, dos señales son ortogonales si el producto interno entre ellas (es decir, la integral que escribí anteriormente) es $0$ , y los vectores / matrices obtenidos al muestrearlos no nos dicen nada acerca de que sean ortogonales.

Tendero
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El término "vector" no significa necesariamente "una posición en el espacio". De hecho, cualquier elemento de un espacio vectorial puede considerarse un vector. El espacio de funciones L2 también es un espacio vectorial con suma de elementos y multiplicación escalar. Por lo tanto, las funciones que son elementos de L2 pueden considerarse vectores de este espacio vectorial. Como tal, el producto interno entre estos vectores determina si las funciones son ortogonales en este espacio vectorial.

Maximilian Matthé

Hola @ MaximilianMatthé, nunca dije que "vector" = "posición en el espacio". Escribí el ejemplo del espacio vectorial

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ para aclarar las cosas, y en ese caso los vectores están en coordenadas espaciales generales. El hecho de que definí un producto interno para funciones indica (implícitamente) que las funciones pueden formar un espacio vectorial. ¿Debo editar algo en mi publicación para hacerlo más claro? Me refería a muestras que no componen el mismo espacio vectorial que las señales mismas, y esa es la razón por la cual las muestras no dicen nada sobre la ortogonalidad.

Tendero

@Tendero ¡Gracias (hice la pregunta, olvidé iniciar sesión antes)! Sin embargo, todavía estoy luchando, porque dijiste que, si calculé la integral dada con

f (x) = c o s (x)

$f(x)=cos(x)$ y

g (x) = s i n (x)

$g(x)=sin(x)$ , entonces obtendría

0

$0$ . Pues no . El resultado es

- 0.5 c o s^{2} (x)

$-0.5cos^2(x)$ , que no siempre es cero. Por supuesto, si me integro durante un período, obtengo cero. Pero en realidad tengo funciones no periódicas para comenzar, y su producto interno (como lo define su integral) tampoco es periódico. ¿Entonces, qué?

AlphaOmega

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@AlphaOmega Las funciones son ortogonales en intervalos determinados. El intervalo de integración debe definirse para saber si dos funciones son ortogonales en ese intervalo . Lo habitual es integrar el coseno y el seno en un período, y luego el producto interno es

0

$0$ . Si tiene funciones no periódicas, entonces tal vez debería hacer otra pregunta con la indicada y ver qué pasa en ese caso.

Tendero

El producto interno siempre debe incluir los límites, de lo contrario, el producto interno no es una función de un campo. El intervalo que elija también altera el espacio vectorial del que se habla.

sinónimo

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La ortogonalidad se define de hecho a través de un producto interno, con una integral para una variable de tiempo ordinal continua, con una suma para una variable de tiempo discreta.

Cuando convierte dos señales ortogonales (continuas) en señales discretas (muestreo regular, amplitudes discretas), posiblemente en ventana (soporte finito), puede afectar la ortogonalidad. En otras palabras: dos señales de tiempo continuo ortogonales pueden volverse casi ortogonales cuando se discretizan. Si la discretización es lo suficientemente fina y la ventana está bien elegida, en algunos casos (en relación con la periodicidad, la frecuencia), se mantiene la ortogonalidad.

En la configuración continua, el espacio de funciones es infinito, por lo que tiene muchas opciones para encontrar señales ortogonales. En un espacio discreto, el número máximo de señales mutuamente ortogonales está limitado por la dimensión del espacio.

Laurent Duval
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Primero debe definir un producto interno para las funciones. No se pueden multiplicar entre sí.

No estoy seguro de las propiedades del producto interno, pero según esta conferencia, un producto interno tiene que ser conmutativo, lineal y el producto interno de una función en sí mismo debe ser definitivamente positivo.

Una opción para un producto interno para funciones podría ser,

⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ = \int_{a}^{b} f_{1} (x) f_{2} (x) d x,

$\left\langle f_1, f_2 \right\rangle = \int_a^b f_1(x)\, f_2(x)\, \mathrm{d}x,$

con $a<b$ . Pero tal vez podrías encontrar diferentes definiciones tú mismo, o jugar con esta y ver cuál $a$ y $b$ , $\sin(x)$ y $\cos(x)$ son ortogonales

fibonatic
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Realmente,

s i n (2 π k_{1} f_{0} t)

$sin(2\pi k_1 f_0 t)$ y

\cos (2 π k_{2} f_{0} t)

$\cos(2\pi k_2 f_0 t)$ son ortogonales para

b - a = \frac{n}{f_{0}}

$b-a=\frac{n}{f_0}$ y

k_{1}, k_{2} \in Z

$k_1,k_2\in\mathbb{Z}$ con

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$ . Ese es el período fundamental de ambas funciones.

Maximilian Matthé

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Los productos internos no son lineales: son bilineales para espacios vectoriales reales y sesquilineales para espacios complejos. Son simétricos para espacios vectoriales reales y conjugados simétricos para espacios complejos.

Batman

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Creo que puedo responder la pregunta después de leer el artículo "La descomposición del modo empírico y el espectro de Hilbert para el análisis de series temporales no lineales y no estacionarias" de Huang. En este artículo (Página 927), Huang dio la definición de la ortogonalidad entre dos señales:

Y también, me gustaría compartir con ustedes mi código MATLAB:

function OC=ort(x,y)
x=x(:)';
y=y(:);
xy=x*y;
OC=xy/(sum(x.^2)+sum(y.^2));
end

Eso es todo, buena suerte ~

Lesan Jia
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En términos de multiplicación de matrices (como para un DFT), el intervalo de integración equivalente para las señales está determinado por el tamaño de la matriz (o el tamaño del vector de entrada) y la frecuencia de muestreo. A menudo se eligen debido a consideraciones prácticas (tiempo o espacio de interés y / o disponibilidad, etc.). La ortogonalidad se define en ese intervalo de integración.

hotpaw2
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Yo diría que su ejemplo está un poco fuera de lugar.

Es muy probable que no hayas probado las funciones $\sin$ y $\cos$ adecuadamente, en el sentido de que el muestreo debe respetar su periodicidad. Si muestra estas funciones en el conjunto $\{\dfrac{n2\pi}{N}\ |\ n\in\{0,\ldots, N-1\}\}$ , Te aseguro que encontrarás que el $N$ vectores dimensionales que encontrarás serán completamente ortogonales.

axplusb
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Me gusta tener un enfoque geométrico en este tipo de problema al recordar que la fórmula de Pythogoras todavía es válida para los vectores:

| x - y |^{2} = | x |^{2} + | y |^{2} - 2 \cdot ⟨ x, y ⟩,

$| x - y |^2 = | x |^2 + | y |^2 - 2\cdot\left\langle x, y \right\rangle,$

con el producto escalar definiendo el coeficiente de correlación como el coseno del ángulo entre los dos vectores en este espacio interno del producto :

⟨ x, y ⟩ = | x | \cdot | y | \cdot \cos (a n g l e (x, y)),

$\left\langle x, y \right\rangle = | x | \cdot | y | \cdot \cos( angle(x, y)),$

El escalar $\cos(angle(x, y))$ se limita así entre $-1$ y $1$ y mide el coseno del ángulo $angle(x, y)$ entre los vectores $x$ y $y$ .

tal que, para responder a su pregunta, la ortogonalidad se define (como en el espacio plano de la geometría habitual) como cuando el coseno es cero .

Meduz
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que quieres decir con

\cos (f, g)

$\cos(f,g)$ ?

robert bristow-johnson

\cos

$\cos$ es el escalar definido por la segunda ecuación, agregué una tinta + intenté

aclararlo

Quiere decir:

\begin{aligned} \cos (f, g) & ≜ \frac{⟨ f, g ⟩}{| f | \cdot | g |} \\ = \frac{| f |^{2} + | g |^{2} - | f - g |^{2}}{2 \cdot | f | \cdot | g |} \end{aligned}

$\begin{align} \cos(f,g) & \triangleq \frac{\langle f, g \rangle}{|f| \cdot |g|} \\ \\ &= \frac{|f|^2+|g|^2-|f-g|^2}{2 \cdot |f| \cdot |g|} \\ \end{align}$ ¿Es eso lo que estás diciendo? Nunca he visto una función de coseno de dos argumentos en el medio siglo cercano que había sido consciente de una función de coseno.

robert bristow-johnson

tienes razón, mi error, he corregido la formulación de mi respuesta.

Meduz

¿Cuándo son dos señales ortogonales?

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