Forma de elementos estructurantes para gradientes morfológicos.

Estoy tratando de comprender las formas recomendadas de elementos estructurantes utilizados en el cálculo de gradientes morfológicos . Según Pierre Soille: Análisis de imagen morfológica :

Solo se consideran elementos estructurantes simétricos que contienen su origen . Al hacerlo, nos aseguramos de que la diferencia aritmética sea siempre no negativa .

La diferencia aritmética mencionada en la cita se refiere a tres combinaciones utilizadas actualmente para calcular el gradiente discreto:

• diferencia aritmética entre la dilatación y la erosión;
• diferencia aritmética entre la dilatación y la imagen original;
• diferencia aritmética entre la imagen original y su erosión.

Pero, creo que usar un SE que contiene su origen es suficiente (asegura la anti-extensividad de la dilatación y la extensividad de la erosión). En este caso, lo siguiente mantiene y asegura la no negatividad en los tres casos:

$\varepsilon_B \leq id \leq \delta_B$ (donde es la transformación de identidad)$id$

Estoy buscando una razón para hacer cumplir la condición de simetría . Intuitivamente, entiendo que usar un SE simétrico es mejor que usar uno no simétrico (por ejemplo, examinar un vecindario simétrico de píxeles). También me sugirieron que podría haber una razón histórica para esta restricción.

Sin embargo, quisiera ejemplos específicos, argumentos o referencias que apuntan a propiedades deseables de SE simétricas (o propiedades indeseables de no simétricas).

Para los elementos planos (implicados por la frase "elemento estructurante"), la contención del origen es suficiente para mantener las propiedades de anti-extensividad para la erosión y extensividad para la dilatación, como se puede encontrar en muchos textos, y usted también lo señaló. Entonces, sí, esto es suficiente para la no negatividad de la diferencia aritmética (esto se muestra directamente por contradicción). La razón por la que este texto está presente en el libro de Pierre podría ser simple: un error. Esta declaración es respaldada por otros documentos (como "Gradientes morfológicos" de Rivest, Soille, Beucher; o "Una visión general del filtrado morfológico" de Serra, Vincent) sobre el gradiente morfológico definido por Beucher en su tesis. Ahora, espero que la situación más común sea la aplicación de un gradiente de forma isotrópica,

Ahora, a la segunda parte de la pregunta (suponiendo que la isotropía no es suficiente para concluir la respuesta). La primera razón que puedo dar para usar elementos simétricos es eliminar la carga de lidiar con las múltiples definiciones de erosión y dilatación presentes en la literatura. Resulta que cuando se consideran elementos simétricos, las definiciones distintas se vuelven iguales, garantizando el mismo comportamiento entre diferentes implementaciones. El uso de elementos anisotrópicos también traducirá sus objetos, lo que podría ser útil solo para ciertas aplicaciones. Además, algunos elementos estructurantes se descomponen trivialmente cuando son simétricos, lo que permite aplicaciones más rápidas de operaciones morfológicas.

Busqué en Jaehne, González, Soille (el que también ha publicado Mathematical Morphology and Its Applications to Image and Signal Processing) y algunos otros documentos morfológicos especiales y no he encontrado ningún criterio de diseño para el elemento estructurante ni ninguna pista especial de por qué tiene que ser simétrico.

Personalmente, creo que un SE simétrico es bueno para los mismos efectos simétricos en el objeto que desea modificar. Con mi experiencia actual, no usaría un SE no simétrico, porque no puedo tomarlo para ningún objeto o escenario y no sé cómo reaccionará en otros casos.

Sin embargo, es una pregunta interesante y estoy tratando de obtener una respuesta.

Los elementos estructurantes asimétricos producen una dilatación de la traducción en el conjunto o imagen original. El tamaño de la traducción está determinado por el desplazamiento en el centro del elemento estructurante. Por ejemplo, podría intentar esto usando matlab para el operador de dilatación:

I = imread('circles.png');
se = strel('disk',10); %you could see it with se = strel('line',5,180) 
%too but have to make sure that the origin still lies in the se.
se2 = translate(se,[-5,-5]) %offset the center by 5 pixels
figure, imshow(imdilate(I,se))
figure, imshow(imdilate(I,se2))

Se evita esto, ya que introduce la anisotropía utilizando el elemento estructurante asimétrico. Pero uno puede usar esto para aplicaciones en detección de bordes, supongo.