Libros / recursos para implementar diversas funciones matemáticas en aritmética de punto fijo para fines DSP

Estoy buscando libros o recursos que cubran lo siguiente en detalle:

• implementar funciones matemáticas (p. ej., logaritmo, exponencial, seno, coseno, inverso) en aritmética de punto fijo para fines de DSP.

• técnicas como el uso de tablas de búsqueda, series de Taylor, etc.

Estoy bastante familiarizado con la programación en C y estoy más interesado en los algoritmos sobre cómo implementar diversas funciones matemáticas de manera eficiente.

La forma polinómica general es:

$$\begin{align} f(u) &= \sum\limits_{n=0}^{N} \ a_n \ u^n \\ \\ &= a_{\small{0}} + \Bigg(a_{\small{1}} + \bigg(a_{\small{2}} + \Big(a_{\small{3}} + \,... \big(a_{\small{N-2}} + (a_{\small{N-1}} + a_{\small{N}} \,u \,)u \, \big)u \ ...\Big)u \, \bigg)u \, \Bigg)u\\ \end{align}$$

la última forma está utilizando el método de Horner , que es muy recomendable, especialmente si lo está haciendo en coma flotante de precisión simple.

luego para algunas funciones específicas:

raíz cuadrada:

$$\begin{align} f(x-1) & \approx \sqrt{x} \quad \quad 1 \le x \le 2 \quad \quad N=4\\ a_0 & = 1.0 \\ a_1 & = 0.49959804148061 \\ a_2 & = -0.12047308243453 \\ a_3 & = 0.04585425015501 \\ a_4 & = -0.01076564682800 \\ \end{align}$$

Si $2 \le x \le 4$, use lo anterior para evaluar $\sqrt{\tfrac{x}{2}}$ y multiplica ese resultado con $\sqrt{2}$ Llegar $\sqrt{x}$. Al igual que con$\log_2(x)$, aplicar el poder de $2$ escalar para escalar el argumento al rango necesario.

logaritmo de base 2:

$$\begin{align} x\cdot f(x-1) & \approx \log_2(x) \quad \quad 1 \le x \le 2 \quad \quad N=5\\ a_0 & = 1.44254494359510 \\ a_1 & = -0.7181452567504 \\ a_2 & = 0.45754919692582 \\ a_3 & = -0.27790534462866 \\ a_4 & = 0.121797910687826 \\ a_5 & = -0.02584144982967 \\ \end{align}$$

base 2 exponencial:

$$\begin{align} f(x) & \approx 2^x \quad \quad 0 \le x \le 1 \quad \quad N=4\\ a_0 & = 1.0 \\ a_1 & = 0.69303212081966 \\ a_2 & = 0.24137976293709 \\ a_3 & = 0.05203236900844 \\ a_4 & = 0.01355574723481 \\ \end{align}$$

seno:

$$\begin{align} x\cdot f(x^2) & \approx \sin\left(\tfrac{\pi}{2} x \right) \quad \quad -1 \le x \le 1 \quad \quad N=4 \\ a_0 & = 1.57079632679490 \\ a_1 & = -0.64596406188166 \\ a_2 & = 0.07969158490912 \\ a_3 & = -0.00467687997706 \\ a_4 & = 0.00015303015470 \\ \end{align}$$

coseno (use seno):

$$\cos(\pi x) = 1 \, - \, 2 \, \sin^2 \left(\tfrac{\pi}{2} x \right)$$

tangente:

$$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

tangente inversa:

$$\begin{align} \frac{x}{f(x^2)} & \approx \arctan(x) \quad \quad -1 \le x \le 1 \quad \quad N=4 \\ a_0 & = 1.0 \\ a_1 & = 0.33288950512027 \\ a_2 & = -0.08467922817644 \\ a_3 & = 0.03252232640125 \\ a_4 & = -0.00749305860992 \\ \end{align}$$

$$\arctan(x) = \tfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \tfrac{1}{x} \right) \quad \quad 1 \le x$$

$$\arctan(x) = -\tfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \tfrac{1}{x} \right) \quad \quad x \le -1$$

seno inverso:

$$\arcsin(x) = \arctan\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)$$

coseno inverso:

$$\begin{align} \arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\ &= \frac{\pi}{2} - \arctan\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)\\ \end{align}$$

Aunque no es específico para un punto fijo, recomendaría encarecidamente el libro "Math Toolkit for Real-Time Programming" de Jack Crenshaw. Viene con un CD con el código fuente.

TI tiene bibliotecas IQMath para todos sus microcontroladores de punto fijo. He descubierto que son una mina de oro de las funciones matemáticas y DSP de punto fijo, no necesariamente limitadas a chips TI.

MSP430 C28X

La aproximación de Chebyshev puede ayudar a calcular coeficientes polinomiales que están cerca del óptimo para aproximar una función en un rango finito. Ejecuta la rutina de aproximación en una PC para lograr un conjunto particular de coeficientes polinómicos, que luego puede aplicar en cualquier plataforma que desee (por ejemplo, incrustada / DSP) La letra pequeña es más o menos de la siguiente manera:

• Esto solo funciona para funciones de una variable; si tienes alguna función$z=f(x,y)$ entonces la aproximación de Chebyshev no te va a ayudar.
• La función que estás aproximando debería ser "polinomial". Las esquinas, las curvas cerradas y muchos meneos requerirán polinomios de orden superior para lograr un nivel de precisión determinado.
• Mantener el orden polinómico bajo es importante: por encima de la quinta parte, puede comenzar a ver errores numéricos.
• La aproximación de Chebyshev utiliza los polinomios de Chebyshev evaluados sobre el dominio [-1,1], por lo que si el rango de entrada para su función es significativamente diferente, es posible que deba escalar / compensar la entrada de manera apropiada antes de determinar los coeficientes y antes de aplicarlos. Por ejemplo, si me importa una función en el rango de entrada$x \in [0,20]$ entonces podría definir $u = (x\times 0.1) - 1$ así que eso $u$ varía de -1 a +1 y puedo evaluar un polinomio en $u$para calcular el resultado requerido. Sin esta escala, puede encontrar errores numéricos más fácilmente, o dicho de otra manera, para la misma precisión puede necesitar mayores longitudes de bits para calcular valores intermedios, y esto generalmente no es deseable.