Una buena explicación matemática del fenómeno de Gibbs.

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Le estaba explicando a alguien cómo funcionan las series de Fourier en el contexto de la construcción de señales que no son diferenciables en todas partes, por ejemplo, ondas cuadradas, ondas de diente de sierra, etc. Sin embargo, cuando mencioné el fenómeno de Gibbs, me di cuenta de que nunca supe realmente por qué sucede. De hecho, según la historia, no todos se dieron cuenta de que es una propiedad matemática real de una serie infinita de señales periódicas y no una casualidad computacional, y resulta que la mayoría de las pruebas son bastante laboriosas y elaboradas.

Después de leer varios de ellos, comencé a darme cuenta de por qué tal fenómeno podría ocurrir, pero tengo experiencia en análisis reales y complejos, topología, etc. La pregunta es ¿puedo explicar completamente y demostrar rigurosamente el fenómeno de Gibbs matemáticamente a alguien con solo los cursos básicos de cálculo de pregrado en su arsenal (o cualquier otro requisito previo general para un curso de pregrado de procesamiento de señales)? Si es así, ¿cómo?

Phonon
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En mi humilde opinión, el artículo de Wikipedia sobre el fenómeno de Gibbs está bastante bien escrito. ¿Es eso lo que estás buscando o necesitas algo más? en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon
Hilmar
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Siempre he encontrado el fenómeno fascinante. Uno de los detalles más sorprendentes con respecto a una serie de Fourier truncada a una longitud finita es que a medida que aumenta el número de términos en la suma, las oscilaciones de Gibbs se comprimen en el tiempo, pero la magnitud del sobreimpulso es constante. Hace mucho tiempo, me dieron una gran explicación de por qué en un curso de pregrado, pero no creo que lo haya escrito.
Jason R

Respuestas:

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El libro "Fórmula fabulosa del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos", de P. Nahin, Princeton University Press, conduce y contiene una explicación de los fenómenos de Gibbs que podrían ser adecuados para alguien con una buena formación universitaria en matemática.

hotpaw2
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Es decir: una explicación rigurosa adecuada a este nivel no puede ser más corta que uno o más capítulos de libros.
hotpaw2
Este libro parece contener una explicación de lo que es el fenómeno (Wilbraham-) Gibbs, y una discusión interesante sobre la historia de su descubrimiento, pero ninguna explicación o derivación. Tal vez me lo perdí, en cuyo caso tal vez alguien puede dar una referencia de sección y / o número de página.
Max M
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Siempre puede decir eso siny costiene forma curva, y necesita una cantidad infinita de frecuencias para formar un borde afilado a partir de muchas formas curvas.

0x90
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