Isomorfismo entre el grupo Clifford y los cuaterniones.

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¿Cómo encuentro un isomorfismo explícito entre los elementos del grupo Clifford y unos 24 cuaterniones?

La parte fácil: la multiplicación de matrices debe corresponder a la multiplicación de cuaterniones.

La matriz de identidad debería asignarse al cuaternión .I1

La parte difícil: ¿a qué deberían asignarse los otros elementos del grupo Clifford? Dado que los siguientes elementos generan el grupo completo, será suficiente asignarlos:

H=12[1111] and P=[100i]

¿Alguien puede ayudar?

Registro de nudos
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Respuestas:

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Los cuaterniones se representan fielmente en dos dimensiones mediante la matriz de unidades y las matrices de Pauli multiplicadas por la unidad imaginaria: , y respectivamente, por lo tanto solo necesita escribir y las combinaciones lineales: yi=1Xj=1Yk=1ZHPH=12(i+k)P=1+12(1k)

Sin embargo, esto no es un isomorfismo entre el grupo Clifford y los cuaterniones, porque aquí usamos los cuaterniones como álgebra, no como grupo. Lo que se puede decir es que el grupo Clifford es isomorfo a un subgrupo de elementos invertibles del álgebra cuaternión.

El término grupo Quaternion está reservado a otro subgrupo de elementos invertibles del álgebra de quaternion que consiste en , , y . Este grupo se llama el grupo quaternion. Este grupo puede generarse mediante rotaciones alrededor de dos ejes principales. Sin embargo, el grupo quaternion de orden 8 no es isomorfo al grupo Clifford de orden 24, que puede generarse mediante rotaciones alrededor de dos ejes principales. El grupo Clifford es, en cierto sentido, la raíz cuadrada del grupo quaternion.±1±(iX=Rx(π))±(iY=Ry(π))±(iZ=Rz(π))ππ2

Aclaraciones

@ Registro de nudos, lo siento, te he engañado en dos puntos:

1) Las unidades imaginarias de los cuaterniones deben representarse como , , , ya que tienen que cuadrar a (I lo he corregido en el texto principal).i=1Xj=1Yk=1Z1

2) Olvidé mencionar que necesitamos trabajar con el álgebra de quaternion sobre el campo complejo, es decir, necesitamos distinguir entre la unidad imaginaria compleja y el quaternion , (espero que te hayas ocupado de eso en su análisis, en cualquier caso, he agregado las expresiones explícitas de y al texto principal. Además, es correcto que las fases globales no sean importantes cuando usa los elementos como puertas cuánticas, y tomó correctamente las clases de equivalencia.1iHP

Sin embargo, consulte el artículo de Michel Planat , en la sección 2.2. menciona que el grupo generado por y debe ser del orden 192, de modo que solo cuando eliminas un centro llegas al grupo Clifford de 24 elementos (no he hecho el trabajo yo mismo).HPZ8

Además, es posible generar el grupo de elementos directamente sin fases adicionales (consulte las notas de clase de Michel Devoret si comienza con generadores de determinante de unidad (por ejemplo, y ), porque el grupo Clifford es geométrico, ya que es isomorfo al grupo octaédrico , el grupo de simetrías del cubo o el octaedro y todos sus elementos son rotaciones, es decir, con Una unidad determinante.24R x ( πRx(π2)Rz(π2)

David Bar Moshe
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Gracias por su aclaración sobre el grupo Clifford / álgebra de Clifford / quaternions / quaternion group. Usted planteó mi pregunta como "¿Qué se puede decir que el grupo Clifford es isomorfo a un subgrupo de elementos invertibles del álgebra cuaternión". ¿Tienes una idea de cómo determinar estos cuaterniones?
Registro de nudos
Sí, por ejemplo, puede escribir, mediante inspección: , luego puede usar la notación de cuaternión si lo desea y escribir , se puede hacer un ejercicio similar y expresar como una combinación lineal de y . H=1H=12(X+Z)P1ZH=12(i+k)P1Z
David Bar Moshe
Creo que esto no es correcto. Si escribo y , estos dos Los elementos 'generan' 48 cuaterniones diferentes, que no corresponden a los 24 elementos del grupo Clifford. P=1+iH=12(i+k)P=1+i2+1i2k
Registro de nudos
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Estás en lo correcto. Si después de obtener estos 48 cuaterniones, considera las clases de equivalencia sin tener en cuenta el signo menos , entonces hay un isomorfismo con los 24 elementos del grupo Clifford. ¡Gracias!
Registro de nudos
@ Registro de nudos, lo siento, lo he engañado en dos puntos, he agregado una aclaración en una actualización.
David Bar Moshe