Isomorfismo entre el grupo Clifford y los cuaterniones.

¿Cómo encuentro un isomorfismo explícito entre los elementos del grupo Clifford y unos 24 cuaterniones?

La parte fácil: la multiplicación de matrices debe corresponder a la multiplicación de cuaterniones.

La matriz de identidad debería asignarse al cuaternión .$I$$1$

La parte difícil: ¿a qué deberían asignarse los otros elementos del grupo Clifford? Dado que los siguientes elementos generan el grupo completo, será suficiente asignarlos:

¿Alguien puede ayudar?

Los cuaterniones se representan fielmente en dos dimensiones mediante la matriz de unidades y las matrices de Pauli multiplicadas por la unidad imaginaria: , y respectivamente, por lo tanto solo necesita escribir y las combinaciones lineales: y$i = \sqrt{-1} X$$j = \sqrt{-1} Y$$k = \sqrt{-1} Z$$H$$P$$H = -\frac{\sqrt{-1} }{\sqrt{2}}(i+k)$$P = \frac{1+\sqrt{-1}}{2}(1-k)$

Sin embargo, esto no es un isomorfismo entre el grupo Clifford y los cuaterniones, porque aquí usamos los cuaterniones como álgebra, no como grupo. Lo que se puede decir es que el grupo Clifford es isomorfo a un subgrupo de elementos invertibles del álgebra cuaternión.

El término grupo Quaternion está reservado a otro subgrupo de elementos invertibles del álgebra de quaternion que consiste en , , y . Este grupo se llama el grupo quaternion. Este grupo puede generarse mediante rotaciones alrededor de dos ejes principales. Sin embargo, el grupo quaternion de orden 8 no es isomorfo al grupo Clifford de orden 24, que puede generarse mediante rotaciones alrededor de dos ejes principales. El grupo Clifford es, en cierto sentido, la raíz cuadrada del grupo quaternion.$\pm 1$$\pm (-iX = R_x(\pi))$$\pm (-iY = R_y(\pi))$$\pm (-iZ = R_z(\pi))$$\pi$$\frac{\pi}{2}$

Aclaraciones

@ Registro de nudos, lo siento, te he engañado en dos puntos:

1) Las unidades imaginarias de los cuaterniones deben representarse como , , , ya que tienen que cuadrar a (I lo he corregido en el texto principal).$i = \sqrt{-1} X$$j = \sqrt{-1} Y$$k = \sqrt{-1} Z$$-1$

2) Olvidé mencionar que necesitamos trabajar con el álgebra de quaternion sobre el campo complejo, es decir, necesitamos distinguir entre la unidad imaginaria compleja y el quaternion , (espero que te hayas ocupado de eso en su análisis, en cualquier caso, he agregado las expresiones explícitas de y al texto principal. Además, es correcto que las fases globales no sean importantes cuando usa los elementos como puertas cuánticas, y tomó correctamente las clases de equivalencia.$\sqrt{-1}$$i$$H$$P$

Sin embargo, consulte el artículo de Michel Planat , en la sección 2.2. menciona que el grupo generado por y debe ser del orden 192, de modo que solo cuando eliminas un centro llegas al grupo Clifford de 24 elementos (no he hecho el trabajo yo mismo).$H$$P$$\mathbb{Z}_8$

Además, es posible generar el grupo de elementos directamente sin fases adicionales (consulte las notas de clase de Michel Devoret si comienza con generadores de determinante de unidad (por ejemplo, y ), porque el grupo Clifford es geométrico, ya que es isomorfo al grupo octaédrico , el grupo de simetrías del cubo o el octaedro y todos sus elementos son rotaciones, es decir, con Una unidad determinante.$24$R x ( π$R_x(\frac{\pi}{2})$$R_z(\frac{\pi}{2})$