¿Cuál es la diferencia entre docker-compose up y docker-compose start?

Cada vez que ejecuto

docker-compose start 
docker-compose ps

Veo mis contenedores con el estado "UP". Si lo hago

docker-compose up -d

Veré más detallado pero tendrá el mismo estado. ¿Hay alguna diferencia entre ambos comandos?

docker-compose start
( https://docs.docker.com/compose/reference/start/ )

Inicia los contenedores existentes para un servicio.

docker-compose up
( https://docs.docker.com/compose/reference/up/ )

Construye, (re) crea, inicia y se conecta a contenedores para un servicio.

A menos que ya se estén ejecutando, este comando también inicia los servicios vinculados.

El docker-compose upcomando agrega la salida de cada contenedor (esencialmente en ejecución docker-compose logs -f). Cuando el comando sale, todos los contenedores se detienen. La ejecución docker-compose up -dinicia los contenedores en segundo plano y los deja en ejecución.

Si hay contenedores existentes para un servicio, y la configuración o imagen del servicio se cambió después de la creación del contenedor, docker-compose uprecoge los cambios deteniendo y recreando los contenedores (preservando los volúmenes montados). Para evitar que Compose recoja los cambios, use la --no-recreatebandera.

Para la referencia completa de la CLI:
https://docs.docker.com/compose/reference/

En el docker Preguntas frecuentes, esto se explica muy claramente:

¿Cuál es la diferencia entre subir, correr y comenzar?

Por lo general, quieres docker-compose up. Use uppara iniciar o reiniciar todos los servicios definidos en a docker-compose.yml. En el modo "adjunto" predeterminado, verá todos los registros de todos los contenedores. En el modo "separado" ( -d), Compose sale después de iniciar los contenedores, pero los contenedores continúan ejecutándose en segundo plano.

El docker-compose runcomando es para ejecutar tareas "únicas" o "ad hoc". Requiere el nombre del servicio que desea ejecutar y solo inicia los contenedores para los servicios de los que depende el servicio en ejecución. Utilícelo run para ejecutar pruebas o realizar una tarea administrativa, como eliminar o agregar datos a un contenedor de volumen de datos. El runcomando actúa de la misma manera docker run -tique abre un terminal interactivo al contenedor y devuelve un estado de salida que coincide con el estado de salida del proceso en el contenedor.

El docker-compose startcomando es útil solo para reiniciar los contenedores que se crearon previamente, pero que se detuvieron. Nunca crea nuevos contenedores.