Dado lo siguiente:

1. Tiempo, t
2. El conjunto de datos de Efemérides IS-200, E, de un satélite GPS correspondiente al tiempo t
3. La posición ECEF del satélite GPS, P = (x, y, z), derivada del tiempo y las efemérides, (t, E).
4. Suponga que la tierra es solo el elipsoide WGS-84.
5. Todos los puntos en WGS-84 tienen el ángulo de la máscara, m.

Encuentra el siguiente:

1. el anillo de cobertura, R, en WGS-84 del satélite GPS. es decir, el límite que distingue qué puntos WGS-84 están a la vista del satélite en el punto P = (x, y, z) y qué puntos WGS-84 no están a la vista

Soluciones aceptables:

1. Una ranura sobre WGS-84 que se aproxima a R.
2. Un polígono sobre WGS-84 que se aproxima a R.
3. O una fórmula (s) que me da R.

Lo que he probado hasta ahora:

• Deje e ^ 2 = 0.0066943799901264; excentricidad al cuadrado

Tenemos una posición ECEF WGS-84 por latitud geodésica phi y longitud lambda:

r = 1 / (sqrt (1-e ^ 2 sin ^ 2 (phi))) * (cos (phi) * cos (lambda), cos (phi) * sin (lambda), (1-e ^ 2) * sin (phi))

Luego convierto ECEF al marco geográfico este-norte arriba (ENU) con phi y lambda usando la matriz:

     (-sin(lambda)                  cos(lambda)                  0       )
C=   (-cos(lambda)*sin(phi)        -sin(lambda)*sin(phi)         cos(phi))
     ( cos(lambda)*cos(phi)         sin(lambda)*cos(phi)         sin(phi))

• Deje G = C (P - r)
• Tome el componente z de G. si el componente z de G es mayor que sin (m), entonces sé que el punto, r, está a la vista. Pero eso no es suficiente para obtener la solución que busco. Podría encontrar un montón de puntos a la vista y tomar el casco convexo de esos puntos, pero eso no es eficiente en absoluto.

La solución para un elipsoide es bastante desordenada, es una forma irregular, no un círculo, y se calcula mejor numéricamente que con una fórmula.

En un mapa mundial, la diferencia entre la solución WGS84 y una solución puramente esférica apenas se notará (es aproximadamente un píxel en una pantalla). La misma diferencia se crearía al cambiar el ángulo de la máscara en aproximadamente 0.2 grados o al usar una aproximación poligonal. Si estos errores son aceptablemente pequeños, puede explotar la simetría de la esfera para obtener una fórmula simple.

Este mapa (usando una proyección equirrectangular) muestra la cobertura de un satélite a 22,164 kilómetros (desde el centro de la Tierra) con un ángulo de máscara de m = 15 grados en el esferoide WGS84. Volver a calcular la cobertura de una esfera no cambia visiblemente este mapa.

En la esfera, la cobertura será realmente un círculo centrado en la ubicación del satélite, por lo que solo necesitamos averiguar su radio, que es un ángulo. Llama a esto t . En la sección transversal hay un triángulo OSP formado por el centro de la tierra (O), el satélite (S) y cualquier punto (P) en el círculo:

• La OP lado es el radio de la tierra, R .

• El sistema operativo lateral es la altura del satélite (por encima del centro de la Tierra). Llama a esto h .

• El ángulo OPS es 90 + m .

• El ángulo SOP es t , que queremos encontrar.

• Debido a que los tres ángulos de un triángulo suman 180 grados, el tercer ángulo OSP debe ser igual a 90 - ( m + t ).

La solución ahora es una cuestión de trigonometría elemental. La ley (plana) de los senos afirma que

sin(90 - (m+t)) / r = sin(90 + m) / h.

La solucion es

t = ArcCos(cos(m) / (h/r)) - m.

Como verificación, considere algunos casos extremos:

1. Cuando m = 0, t = ArcCos (r / h), que se puede verificar con geometría euclidiana elemental.

2. Cuando h = r (el satélite no se ha lanzado), t = ArcCos (cos (m) / 1) - m = m - m = 0.

3. Cuando m = 90 grados, t = ArcCos (0) - 90 = 90 - 90 = 0, como debería ser.

Esto reduce el problema a dibujar un círculo en la esfera, que se puede resolver de muchas maneras. Por ejemplo, puede almacenar la ubicación del satélite en t * R * pi / 180 utilizando una proyección equidistante centrada en el satélite. Las técnicas para trabajar con círculos en la esfera directamente se ilustran en /gis//a/53323/664 .

Editar

FWIW, para satélites GPS y ángulos de máscara pequeños (menos de 20 grados más o menos), esta aproximación no trigonométrica es precisa (a unas pocas décimas de grado y menos de unas centésimas de grado cuando el ángulo de la máscara es inferior a 10 grados ):

t (degrees) = -0.0000152198628163333 * (-5.93410042925107*10^6 + 
              3.88800000000000*10^6 r/h + 65703.6145507725 m + 
              9.86960440108936 m^2 - 631.654681669719 r/h m^2)

Por ejemplo, con un ángulo de máscara de m = 10 grados y un satélite a 26,559.7 km sobre el centro de la Tierra (que es la distancia nominal de un satélite GPS ), esta aproximación da 66.32159 ..., mientras que el valor (correcto para la esfera ) es 66.32023 ....

(La aproximación se basa en una expansión de la serie Taylor alrededor de m = 0, r / h = 1/4.)