Si no tiene esta capacidad integrada en su SIG, pero puede realizar algunas operaciones de cuadrícula básicas ("álgebra de mapas"), todavía hay una solución.
El cálculo se reduce a encontrar la pendiente de la ruta en cada punto. Si supiera esto exactamente , sin error de discretización, integraría la secante de la pendiente. En una cuadrícula, la integral se estima obteniendo el promedio de la secante para las celdas interceptadas por la ruta y multiplicando el promedio por la longitud de la ruta. (En el lenguaje de álgebra de mapas, eso sería un "promedio zonal" multiplicado por la longitud de la ruta).
¡La pendiente de la ruta no es la misma que la pendiente del DEM! Depende exactamente de cómo la ruta atraviesa la superficie. Por lo tanto, necesita información completa sobre la "dirección" de la superficie, que puede describirse en términos de impacto y caída, pendiente y aspecto, o por medio de un vector unitario normal ( es decir , un campo de vector 3D perpendicular a la superficie). La forma más confiable es reducir el problema a uno en el que conozca el campo vectorial normal. Esto significa que tiene un triple de números en cada celda, representada como tres cuadrículas separadas, por supuesto, que llamaré (Nx, Ny, Nz). La dirección de la ruta (en el plano) se puede representar como un vector unitario (x, y, t) donde (x, y) da su dirección en el mapa. El valor de t es el "aumento" en la dirección vertical:la velocidad a la que debe aumentar la ruta para permanecer en la superficie . Por lo tanto, debido a que la velocidad 2D de la ruta, su "carrera", es igual a Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2), la pendiente viene dada por
(1) tan (pendiente) = subida / carrera = t / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) .
En los cálculos, t será una cuadrícula pero el denominador, Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2), es solo un número. Si lo calcula utilizando la fórmula (4) a continuación, será igual a 1, por lo que puede olvidarse: t será la tangente de la cuadrícula de pendiente de la ruta y sec (pendiente) = sqrt (1 + t ^ 2) será cuadrícula cuyo promedio zonal calculas.
Es fácil encontrar t. Por definición, el vector de dirección (x, y, t) es perpendicular al vector normal. Esto significa
0 = x * Nx + y * Ny + t * Nz, entonces
(2) t = - (x * Nx + y * Ny) / Nz .
En el cálculo, Nx, Ny y Nz son cuadrículas, pero x e y son números. Por lo tanto, t es una cuadrícula, según lo previsto. (No habrá ningún problema con la división, porque no es posible para Nz = 0: eso sería un acantilado perfectamente vertical, que no puede representarse en un DEM).
Entonces: ¿cómo encuentras el vector normal (Nx, Ny, Nz) y el vector de dirección (x, y)? Por lo general, un SIG calculará las pendientes y las cuadrículas de aspecto (a) desde el DEM. Expresar cada uno como un ángulo. Estas son básicamente coordenadas esféricas para el vector normal de la unidad. Para los aspectos al este del norte, la unidad normal se obtiene mediante la conversión de coordenadas esférica a cartesiana habitual,
(3) (Nx, Ny, Nz) = (sin (s) * sin (a), sin (s) * cos (a), cos (s)) .
En este cálculo, s y a son cuadrículas , por lo que describe tres expresiones de álgebra de mapas separadas para crear tres cuadrículas Nx, Ny y Nz.
Como verificación, tenga en cuenta que cuando la pendiente es cero (s = 0), el vector normal es (0,0,1), apuntando hacia arriba, como debería. Cuando el aspecto es cero, el vector normal es (0, sin (s), cos (s)) que evidentemente apunta hacia el norte (dirección y) y se inclina desde la vertical en un ángulo de s, lo que implica que la superficie se inclina desde la horizontal por un ángulo de s: que de hecho es su pendiente.
Finalmente, deje que el rumbo de la ruta sea b (un ángulo constante, al este del norte). Su vector de dirección es
(4) demora = (x, y) = (sin (b), cos (b)).
Tenga en cuenta que el cojinete es un par de números , no un par de rejillas, porque describe la dirección de la ruta.
A medida que aumenta la resolución del DEM, puede observar una mayor variación local en las pendientes, lo que hace que la pendiente estimada aumente, como señala @johanvdw. He estudiado este fenómeno engrosando sucesivamente DEM de alta resolución y comparando DEM de un área obtenida de diferentes fuentes. Descubrí que en áreas de alta pendiente las diferencias en las estimaciones de la pendiente pueden ser sustanciales . Esto se traducirá en diferencias sustanciales en las estimaciones de longitud de ruta terrestre. De lo contrario, en áreas de baja pendiente uniforme, las diferencias podrían no tener consecuencias.
Una forma de evaluar el efecto de la resolución de su DEM es realizar un estudio similar. Se necesita poco esfuerzo. Por ejemplo, calcule la longitud terrestre de una ruta utilizando el DEM, luego vuelva a estimar la longitud después de agregar ese DEM en bloques de 2 x 2 (engrosamiento en un factor de 2). Si hay una diferencia intrascendente entre las dos estimaciones, debería estar bien; Si la diferencia es importante, puede valer la pena obtener un DEM de resolución más fina para su trabajo. (Existen métodos más sofisticados para mejorar las estimaciones de pendiente y longitud explotando el DEM que tiene, pero me tomaría demasiado tiempo describirlos aquí).
SAGA GIS tiene un módulo para esto: Perfil interactivo
http://www.saga-gis.org/saga_modules_doc/ta_profiles/index.html
Los puntos resultantes contendrán la distancia y la distancia terrestre. Si el DEM tiene una resolución más gruesa, su distancia terrestre siempre será un poco más baja (a menos que tenga condiciones fronterizas extrañas), pero en realidad esta diferencia probablemente no sea importante. Si el área es bastante plana, incluso la distancia terrestre y la distancia normal serán casi las mismas: si la pendiente entre dos puntos a lo largo de su línea es, por ejemplo, 20%, la distancia terrestre solo será 2% más alta que la distancia normal (sqrt ( 1 ^ 2 + 0.2 ^ 2) = 1.019).