Cómo determinar los parámetros de proyección al personalizar una proyección

Estoy tratando de personalizar una proyección Albers y Hotine Oblique Mercator (HOM) para minimizar la distorsión en la región que estoy analizando. La región se extiende desde aproximadamente 51 a 62 grados de latitud, cubriendo un área del tamaño de Ucrania. La región está orientada NO - SE.

Quiero asegurarme de que estoy usando los métodos correctos para determinar los dos parámetros de proyección: lat / long del centro de proyección y azimut de la línea central . Estoy usando ArcMap v10. Aquí está el procedimiento que he seguido hasta ahora:

1. Creó un único polígono que define la región de análisis (por lo general, creando un casco convexo alrededor de la extensión de las cuencas que cubren la región). Este polígono es el área para la que estoy personalizando la proyección.
2. Proyectó el polígono a Geographic / NAD 83.
3. Utilicé las herramientas de Jeff Jenness para gráficos y formas
   ( http://www.jennessent.com/arcgis/shapes_graphics.htm ) para determinar el centro de masa del polígono en el esferoide GRS80. Las coordenadas resultantes son las que utilicé para el parámetro "centro de proyección".
4. Para determinar el acimut de la línea central, primero proyecté el polígono a una proyección equidistante acimutal, especificando el centro de proyección en las coordenadas determinadas en el Paso 3.
5. Luego dibujé una polilínea (en la proyección equidistante azimutal), ajustada al punto central de la proyección, que representa la tendencia direccional del polígono de la región. Para obtener el acimut en el centro de la proyección, utilicé las Herramientas para gráficos y formas de Jeff Jenness para determinar el acimut inicial de la curva geodésica en el punto central.
6. Para la proyección de Albers, estoy usando la longitud del centro de proyección, como se determinó en el paso 3. También estoy usando la impresionante hoja de cálculo creada por Bill Huber ( http://forums.esri.com/Attachments/34278.xls ) para determinar dónde para colocar los paralelos estándar para minimizar la distorsión de escala dentro de la región del polígono.

Si es necesario saberlo, estoy usando la versión de ArcMap del HOM que usa una línea central definida por un punto en el centro de la proyección y su ángulo de acimut. ESRI llama a esto el "Hotine_Oblique_Mercator_Azimuth_Center". En EPSG, creo que este es el Oblique Mercator, Hotine Variant B, código de método EPSG 9815.

Espero que haya algunos expertos en proyección que puedan decirme si el procedimiento anterior, especialmente los Pasos 3 y 4 , es una forma correcta de determinar los parámetros de proyección necesarios. ¿Estoy en el camino correcto? ¿Es correcto determinar el centro del esferoide y el ángulo de la geodésica desde el punto central (en lugar de un centro geométrico "2d" y un acimut)?

Espero que la descripción del problema sea clara. ¡Espero ansiosamente cualquier respuesta, consejo, discusión, etc.!

El enfoque descrito en la pregunta exhibe un cuidado excepcional en la selección de proyecciones para un área de estudio dada. Esta respuesta solo tiene como objetivo establecer una conexión más directa entre el objetivo (minimizar la distorsión) y los pasos que se tomaron y se pueden tomar, de modo que podamos estar seguros de que este enfoque será exitoso (tanto aquí como en futuras aplicaciones).

Tipo de distorsión

Ayuda a enmarcar el problema un poco más clara y cuantitativamente. Cuando decimos "distorsión", podemos referirnos a varias cosas relacionadas pero diferentes:

• En cada punto donde la proyección es suave (es decir, no es parte de un "pliegue" o unión de dos proyecciones diferentes y no está en su límite o "desgarro"), hay una distorsión de escala que generalmente varía con el rumbo lejos del punto. Habrá dos direcciones opuestas en las cuales la distorsión es mayor. La distorsión será menor en las direcciones perpendiculares. Estas se llaman las direcciones principales . Podemos resumir la distorsión de escala en términos de distorsiones en las direcciones principales.

• La distorsión en el área es el producto de las distorsiones principales de la escala.

• Las direcciones y los ángulos también pueden distorsionarse. Una proyección es conforme cuando cualquiera de los dos caminos en la tierra que se encuentran en un ángulo se asignan a líneas garantizadas para encontrarse en el mismo ángulo: los proyectos conformales preservan los ángulos. De lo contrario, habrá una distorsión de los ángulos. Esto se puede medir.

Aunque nos gustaría minimizar todas estas distorsiones, en la práctica esto nunca es posible: todas las proyecciones son compromisos. Entonces, una de las primeras cosas que debe hacer es priorizar: ¿qué tipo de distorsión debe controlarse?

Medición de la distorsión general

Estas distorsiones varían de un punto a otro y, en cada punto, a menudo varían según la dirección. En algunos casos, anticipamos realizar cálculos que cubren toda la región de interés: para ellos, una buena medida de la distorsión general es el valor promedio de todos los puntos, en todas las direcciones. En otros casos, es más importante mantener las distorsiones dentro de los límites establecidos, pase lo que pase. Para ellos, una medida más apropiada de la distorsión general es el rango de distorsiones encontradas en toda la región, teniendo en cuenta todas las direcciones posibles. Estas dos medidas pueden ser sustancialmente diferentes, por lo que es necesario pensar un poco para decidir cuál es mejor.

Elegir una proyección es un problema de optimización

Una vez que hemos seleccionado una forma de medir la distorsión y expresar su valor para toda la región de interés, el problema se vuelve relativamente sencillo: seleccionar una proyección entre las compatibles con el software de uno y encontrar los parámetros permitidos para esa proyección (como su meridiano, factor de escala, etc.) que minimizan la medida general de distorsión.

En la aplicación, esto no es fácil de llevar a cabo, ya que hay muchas proyecciones posibles, cada una tiene muchos parámetros que se pueden establecer, y si las distorsiones promedio sobre la región deben ser minimizadas, también necesitamos calcular esos promedios (que cantidades para realizar una integración bidimensional o tridimensional cada vez que se varía cualquier parámetro de proyección). En la práctica, entonces, las personas suelen emplear la heurística para obtener una solución óptima aproximada:

• Identifique una clase de proyecciones adecuadas para la tarea. Por ejemplo , si la evaluación correcta de los ángulos será importante, limítese a proyecciones conformes (como el HOM). Cuando el cálculo de áreas o densidades es importante, limítese a proyecciones de áreas iguales (como Albers). Cuando es importante mapear meridianos a líneas paralelas hacia arriba y hacia abajo, elija una proyección cilíndrica. Etcétera etcétera.

• Dentro de esa clase, enfóquese en un pequeño número conocido, a través de la experiencia, que sea apropiado para la región de interés. Esta elección generalmente se realiza en función de qué aspecto de la proyección puede ser necesario (para el HOM, este es un aspecto "oblicuo" o girado) y el tamaño de la región (en todo el mundo, un hemisferio, un continente o uno más pequeño) ) Cuanto más grande sea la región, más distorsión tendrás que soportar. Con regiones del tamaño de un país o más pequeñas, la selección cuidadosa de una proyección se vuelve cada vez menos importante, porque las distorsiones simplemente no son tan buenas.

• Esto nos lleva a la pregunta actual: habiendo seleccionado algunas proyecciones, ¿cómo elegir sus parámetros? Aquí es donde destaca el esfuerzo anterior para enmarcarlo como un problema de optimización. Seleccione los parámetros para minimizar la medida de distorsión general elegida. Esto se hace con frecuencia por prueba y error, utilizando valores iniciales intuitivamente razonables.

Aplicación práctica

Examinemos los pasos de la pregunta desde esta perspectiva.

1) ( Definición de la región de interés. ) Es una simplificación usar el casco convexo. No pasa nada con eso, pero ¿por qué no usar exactamente la región de interés? El SIG puede manejar esto.

2 y 3) ( Encontrar un centro de proyección ) . Esta es una buena manera de obtener una estimación inicial del centro, pero, anticipando las etapas posteriores en las que variaremos los parámetros de proyección, no es necesario ser exigente con esto. Cualquier tipo de centro de "globo ocular" estará bien para empezar.

4 y 5) ( Elección del aspecto ) . Para la proyección HOM, el problema se refiere a cómo orientarlo. Recuerde que la proyección estándar de Mercator, en su aspecto ecuatorial, mapea con precisión el ecuador y su vecindad, pero luego aumenta su distorsión exponencialmente con la distancia del ecuador. El HOM utiliza esencialmente la misma proyección, pero mueve el "ecuador" sobre la región de interés y lo gira. El propósito es colocar la región ecuatorial de baja distorsión sobre la mayor parte de la región de interés. Debido al crecimiento exponencial de la distorsión fuera del ecuador, minimizar la distorsión general requiere que prestemos atención a las partes de nuestra región de interés que se encuentran más lejos de la línea central. Por lo tanto, el nombre de este juego es encontrar una línea (una geodésica esférica) que transeccione la región de tal manera que (a) la mayor parte del área esté lo más cerca posible de esa línea (esto minimiza la distorsión promedio) o ( b) las partes de la región más alejadas de esa línea están lo más cerca posible (esto minimiza la distorsión máxima).

Una excelente manera de llevar a cabo este procedimiento mediante prueba y error es adivinar una solución y luego explorarla rápidamente con una aplicación interactiva Tissot Indicatrix. (Consulte este ejemplo en nuestro sitio. Para los cálculos necesarios, consulte https://gis.stackexchange.com/a/5075 .) La exploración generalmente se centra en los puntos donde la proyección tendrá la mayor distorsión. El TI no solo medirá los diversos tipos de distorsión (escala, área, ángulo, rumbo), sino que también representará gráficamente esa distorsión. La imagen vale más que mil palabras (y media docena de números).

6) ( Elección de parámetros ) Este paso está muy bien hecho: la pregunta describe una forma cuantitativa de evaluar la distorsión en la proyección de Albers (Conic Equal Area). Con la hoja de cálculo en la mano, es sencillo ajustar los dos paralelos de tal manera que se minimice la distorsión máxima. Es un poco más difícil ajustarlos para minimizar la distorsión promedio en toda la región, por lo que esto rara vez se hace.

Resumen

Al enmarcar la elección de la proyección como un problema de optimización, establecemos criterios prácticos para tomar esa decisión sabia y defendiblemente. El procedimiento puede llevarse a cabo de manera efectiva mediante prueba y error, lo que implica que no se necesita un cuidado especial para la selección inicial de parámetros: la experiencia y la intuición generalmente son suficientes para comenzar bien, y luego herramientas interactivas como una aplicación Tissot Indicatrix y software asociado para calcular distorsiones puede ayudar a terminar el trabajo.

Lo siento, estoy publicando esto en "Respuesta". No estoy seguro si es apropiado (es demasiado largo para comentarios). Soy nuevo en este sitio ... ¿tal vez debería haber comenzado una pregunta relacionada sobre la evaluación de la distorsión? Pero, estaba trabajando en una idea como resultado de esta publicación la semana pasada, para evaluar la distorsión de escala asociada con la elección de diferentes valores de centro de proyección, acimut y factor de escala para el HOM. Decidí publicar la idea aquí porque 1) tal vez sea una herramienta útil que pueda usarse para ayudar a responder partes de la pregunta original y 2) esperaba recibir comentarios sobre si esto suena como un enfoque razonable.

Usando el mismo concepto que la hoja de cálculo creada para evaluar la distorsión de la escala de Albers, cree una hoja de cálculo llena de ecuaciones de Snyder para el HOM (fórmula elipsoide, "alternativa B", página 74 de "Proyecciones de mapas - Un manual de trabajo"). El usuario ingresa los parámetros de elipsoide elegidos (aye) y los parámetros de proyección "personalizados" (lat / long del centro de proyección, azimut de la línea central, factor de escala y falso este / norte). El resto de las constantes de proyección se calculan automáticamente. La hoja de cálculo también contiene celdas para cada par lat / largo (en incrementos de medio grado, o los incrementos que se deseen) en el área de proyección. El factor de escala y las coordenadas rectificadas en cada par lat / long se calculan automáticamente al cambiar cualquiera de los parámetros de proyección. Ahora, el factor de escala se puede evaluar numéricamente 1) calculando un promedio general y un rango de distorsión de escala en la región de proyección, y 2) las coordenadas de puntos y sus factores de escala asociados se pueden importar fácilmente a ArcMap para crear una imagen visual de cómo la escala La distorsión se distribuye. Obviamente, los resultados son solo una muestra y variarán dependiendo de cuántas ubicaciones lat / long se evalúen, pero¿Suena esto como un enfoque razonable?