¿Qué tipo de matemáticas usan realmente los ingenieros? [cerrado]

Soy de la sección de matemáticas StackExchange, muchos de mis estudiantes son estudiantes de ingeniería en la Universidad. Me preguntaba qué tipo de cálculo utilizan los verdaderos ingenieros. He conocido a dos ingenieros. Uno de diseño de avión y otro de metrología. El primero usaba muy poco cálculo, algunas EDO con coeficientes constantes por linealización. Este último usaba solo matemáticas básicas, no cálculo, con algo de excelencia. Quiero ser honesto con cualquier estudiante de ingeniería para que sepan lo que les espera.

Además, una pregunta de seguimiento. ¿Le resultó beneficioso tener alrededor de cuatro semestres de cálculo? Tal vez no use nada de eso, pero sí mejora su razonamiento matemático, lo que tiene una externalidad positiva en sus habilidades de ingeniería.

En mi título de ingeniero civil, utilizamos EDO para la relación entre fuerza, momento y desviación. No recuerdo haber usado PDEs yo mismo, pero mi cuñado (haciendo prácticas civiles en una universidad diferente) los usó para la hidráulica.

En la vida real (como diseñador de puentes) no recuerdo haber utilizado el cálculo. La universidad se concentró principalmente en la teoría y los modelos matemáticos utilizados, mientras que en el diseño de ingeniería real tenemos software que hace todo el cálculo por nosotros.

Creo que hay muchos beneficios para una formación teórica y matemática en la universidad: como ingeniero profesional, debes tener una comprensión básica para saber si el software te está dando una respuesta sensata.

(Como comentario aparte, como mencionó Excel, lo he usado muchísimo en diseño real).

Originalmente escribí esto como un comentario adjunto a la respuesta de AndyT, pero en respuesta al comentario de dcorking, decidí expandirme aquí.

Me gradué casi 30 años y mi experiencia es similar a la de AndyT. Después de graduarme, fui directamente a la industria. Desde que me gradué, yo y todas las personas con las que he trabajado o con las que he estado asociado nunca hemos usado y nunca hemos necesitado usar el cálculo en nuestro trabajo diario como ingenieros. Los tipos de ingenieros con los que he trabajado incluyen: civil, mecánica, ventilación, minería, electricidad y medio ambiente.

Durante mi carrera, utilicé algo de trigonometría, álgebra y estadísticas, además de matemáticas financieras (VAN, TIR, etc.) para evaluaciones de proyectos, estudios de viabilidad y, a veces, cuando tuve que escribir o revisar justificaciones para gastos de capital.

Cuando emergí al mundo real, los ingenieros comenzaban a utilizar computadoras de escritorio de trabajo. Mi carrera inicial fue una mezcla de hacer diseños en papel y usar computadoras. Finalmente, las computadoras dominaron y terminé usando software de diseño de computadora y hojas de cálculo para mi trabajo de ingeniería y diseño.

Entre dos tercios y tres cuartos de todas las matemáticas que aprendí en la universidad, nunca las he usado después de comenzar a trabajar. Desde entonces me di cuenta de que gran parte de las matemáticas que debía aprender era un ejercicio para enseñarme a pensar y resolver problemas. La unidad de matemáticas que particularmente encontré inútil para mi carrera, pero que tuve que estudiar, eran los vectores propios. Sé que algunos ingenieros consideran indispensables los vectores propios. ¡Era una unidad que estaba feliz de olvidar después de rendir el examen!

Los cursos de ingeniería deben estar acreditados por sociedades profesionales de ingeniería, por lo tanto, los ingenieros deben aprender muchas matemáticas, en caso de que sea necesario. Cuando los estudiantes comienzan sus cursos, no siempre saben dónde terminarán.

Los ingenieros de investigación y los involucrados con las tecnologías superiores de vanguardia utilizan más de las matemáticas y el cálculo que se les enseñó.

Recuerdo haber escuchado una conversación que mis conferencias estaban teniendo con otro estudiante y dijo que la única vez que usó el cálculo fue en la década de 1950 cuando estuvo involucrado en el diseño de ciertos tipos de motores de combustión interna.

Lo que pasa con los ingenieros en la industria es que pronto terminan siendo gerentes, cuidando personas, dinero e ideas. Es útil tener conocimientos básicos de cálculo, pero hoy en día las computadoras hacen todos los cálculos complejos por nosotros. Enchufamos el número e interpretamos los resultados. Necesitamos conocer los conceptos de cómo funciona el software para asegurarnos de que el software no nos da basura. Es una de las razones por las cuales los estudiantes de ingeniería necesitan estudiar matemáticas.

Recuerdo haber asistido a un seminario de la industria cuando un estudiante era estudiante y un ingeniero experimentado les dijo a todos que mientras estaban en la universidad necesitaban usar calculadoras científicas, pero a medida que avanzaban en sus carreras terminarían usando calculadoras que solo tenían suma, resta , teclas de multiplicación y división.

Un poco de historia (revelación honesta). Comencé a obtener mi BS / MS en Mech Eng. de una escuela bastante práctica / aplicada antes de decidir continuar con un doctorado en una escuela más teórica. Como resultado, no pretendo ser un verdadero ingeniero (mi experiencia general es que los académicos que trabajan en ingeniería suelen ser ingenieros mediocres), pero tengo algunas ideas que podrían ser útiles.

En mi investigación, me encuentro lidiando con EDO, PDE, álgebra lineal (tanto aplicada como abstracta) y ese tipo de cosas. A veces he tenido que volver a aprender conceptos matemáticos que había olvidado o nunca aprendí en primer lugar. Cualquier fracción de sus estudiantes que ingresen a la academia será más probable que usen cálculos regularmente.

En actividades más aplicadas, como proyectos de consultoría o construcción de autos de carrera para la finalización de un estudiante. Encuentro mucha menos demanda de esas habilidades, aunque a veces son útiles.

En muchos casos, el cálculo es más valioso para los conceptos que para el cálculo real. Querré saber que una cantidad es la integral de otra para comprender un problema, pero eso no significa que realmente voy a sentarme e integrar una ecuación con un lápiz y papel. En particular, creo que comprender las ideas básicas de las ecuaciones diferenciales puede ser extremadamente valioso en muchas disciplinas (sistemas dinámicos, transferencia de calor, electrónica ...).

Las experiencias que describe no son irrazonables por varias razones (lista no exhaustiva):

• Muchos problemas prácticos pueden resolverse analíticamente con matemáticas superiores. Sin embargo, la solución analítica, una vez conocida, reduce el cálculo real a aritmética simple. En algunos casos, no solo es más fácil usar la solución dada, sino que también es necesaria. En el caso de varios códigos y estándares, un ingeniero se expondría a responsabilidad si se desviara de un procedimiento de cálculo prescrito.

• Las soluciones numéricas a los problemas son cada vez más fáciles de encontrar y son más ampliamente aplicables que las soluciones analíticas. A menudo es más fácil lanzar un método numérico en una integral, ODE, PDE, serie ... en lugar de tratar de recordar / derivar la solución. La geometría compleja, el comportamiento no lineal, etc. a menudo significa que los métodos convencionales son poco prácticos o imposibles. Y, con una gran cantidad de software moderno, las matemáticas son totalmente invisibles para el usuario. He visto a estudiantes de primer año con poca experiencia aprender rápidamente las herramientas para simular tensiones en escenarios de carga complejos y calcular la conducción de calor transitoria con condiciones de contorno no lineales (básicamente no se requieren matemáticas).

• Hay una gran cantidad de datos empíricos que se dedican a la ingeniería. Los experimentos y la experiencia pueden ser tan buenos o mejores que las matemáticas en algunos casos. Ni siquiera podía comenzar a calcular (a partir de los primeros principios) el coeficiente de fricción entre dos materiales, pero puedo buscarlo en un libro o medirlo yo mismo.

Esto es desde el punto de vista de un ingeniero civil.

Los ingenieros generalmente no usan matemática de nivel superior porque las especificaciones del código están escritas específicamente para evitar la necesidad. No desea que un edificio o puente falle porque un ingeniero no tomó una integral correctamente. Siempre que sea posible, las matemáticas difíciles se han reducido a una ecuación simplificada, una tabla o un gráfico. Esto se hace para limitar las posibles fuentes de errores.

La matemática complicada se realiza y verifica antes de colocarla en los códigos. De esta manera, el ingeniero que usa el código más tarde no tiene que preocuparse de que sea correcto. Por lo general, solo hacer referencia a un código es suficiente para "probar" que una respuesta es correcta.

La ingeniería para el público está tan controlada por los códigos y las especificaciones que en algunas áreas hay pocas matemáticas que hacer. La respuesta se encuentra en una tabla. La tabla probablemente se diseñó con muchos aportes matemáticos e investigación universitaria, pero se desarrolló una tabla para eliminar la necesidad de rehacer los cálculos estándar en cada proyecto. Este es incluso el caso en el diseño sísmico (terremoto). A menos que un diseño sea tan especial que sea necesario crear un modelo de computadora completo, todas las interacciones complejas entre el suelo, la estructura y las fallas cercanas se reducen a una simple carga horizontal que se aplica a través del centro de masa.

Los códigos de construcción y las incertidumbres en las cargas requieren que los factores de seguridad sean algo grandes en comparación con otras profesiones. Esto significa que un método simplificado para resolver un problema no afecta mucho el resultado final en comparación con una solución matemática exacta .

Gran parte de los cálculos diarios que realiza un ingeniero utilizan los mismos conjuntos de fórmulas con diferentes entradas. Esta es la razón por la cual se pueden crear enormes hojas de cálculo de Excel para hacer mucho trabajo.

Sin embargo, esto no significa que las matemáticas de nivel superior y las teorías que lo respaldan no sean útiles. Todos esos temas ayudan a entrenar la mente de un ingeniero para visualizar lo que realmente está sucediendo. El tema de la simulación numérica habla de esto.

Dependiendo de cómo lo mires, ninguno y todo.

El ciclo de hacer algo de la manera difícil, aprender un atajo y luego pasar a material avanzado se repite durante toda la universidad.

Por ejemplo, una vez que comencé a tomar Álgebra, dejé de hacer tablas de multiplicar. Las matemáticas de nivel universitario son de la misma manera. Después del cálculo, la mayoría de los ingenieros toman ecuaciones diferenciales. En ese momento realmente dejé de hacer cálculos y comencé a confiar en las herramientas para hacerlo por mí.

En el trabajo de controles usamos muchas transformaciones de Laplace para definir un sistema. Aunque técnicamente conozco la teoría completa detrás de la transformación de Laplace, no he hecho una a mano en casi una década.

Entonces, aunque no he "usado" el cálculo desde mis 3º a 4º años de universidad, todo lo que aprendí durante ellos requería un fundamento fundamental del cálculo.

Editar: una analogía de tipo. Esto es como preguntarle a alguien en el piso 14 de un edificio cuántas veces usa el tercer piso. Puede que nunca sea, pero sin el tercer piso tampoco habría un piso 14.

Estoy de acuerdo, como se discutió en algunas de las otras respuestas, que la mayoría de las veces los ingenieros no usan directamente el cálculo (u otras matemáticas avanzadas) muy a menudo para hacer su trabajo diario. Y al mismo tiempo, comprenderlo es vital para un buen ingeniero.

Sin embargo, agregaría que comprender las matemáticas avanzadas lo suficientemente bien como para usarlas de manera efectiva puede ser extremadamente útil en esta era actual en la que las herramientas matemáticas avanzadas están fácilmente disponibles. Por ejemplo, un programa como Mathcad le permite al usuario realizar la integración directa de un dominio, y un ingeniero que entiende cómo usar esto correctamente puede crear herramientas extremadamente efectivas, precisas y rápidas para resolver problemas de rutina.

$S_p$

$\Delta e$$z$

$e_0$

$\sigma^{\prime}$$S_p$

Sin embargo, una forma mucho mejor y más fácil de hacer esto es simplemente integrarse directamente usando una herramienta como Mathcad. En lugar de dividir una columna de suelo de 15 pies en incrementos de 1 pie, y realizar el mismo conjunto de cálculos en cada una de las 15 capas, todo lo que tengo que hacer (una sola vez) es esto:

1. $z$ $$u(z)=0$$
2. $z$ $$\sigma_0(z)=\gamma_{\text{soil}}z$$
3. $z$ $$\sigma^{\prime}_0(z)=\sigma_0(z)-u(z)$$
4. $z$ $$\Delta\sigma^{\prime}(z)=1000\text{ psf}$$
5. $z$ $$\Delta e(z)=C_c\log{\frac{\sigma^{\prime}_0(z)+\Delta \sigma^{\prime}(z)}{\sigma^{\prime}_0(z)}}$$

$z=H_{\text{layer}}$

Este enfoque es más rápido, más preciso y más fácil que el método que se enseña en la mecánica del suelo o el libro de texto de cimientos. Sin embargo, requiere la capacidad de comprender y aplicar el cálculo básico para implementarlo adecuadamente.

Hay muchos otros ejemplos (por ejemplo, análisis estructural de una viga en flexión, flujo de agua subterránea, análisis de flujo volumétrico de un hidrograma de cuenca hidrográfica, etc.) en los que la integración directa sería un enfoque superior al comúnmente utilizado si la herramienta adecuada está disponible .

Un ingeniero electrónico aquí, que encontró las matemáticas la parte más difícil de su carrera.

De manera rutinaria, tengo que usar y manipular números complejos al hacer ingeniería de RF, modelado de circuitos y diseño. También han sido útiles al modelar la propagación ultrasónica. A menudo he deseado que Excel maneje números complejos como un tipo incorporado.

La comprensión de las EDO es vital al diseñar sistemas de control y retroalimentación.

Comprender los conceptos de la serie de Fourier, Laplace y las transformaciones Z y convolución ha sido necesario.

Lo importante para mí ha sido saber qué matemáticas hay y poder pedirle ayuda a un matemático cuando sea necesario. Los matemáticos que he consultado siempre han estado encantados de ayudar con problemas prácticos.

Como científico computacional, trabajo en estrecha colaboración con los ingenieros que desarrollan las herramientas de software que utilizan para resolver diferentes tipos de problemas de ingeniería. Mi trabajo se basa en gran medida en ecuaciones diferenciales parciales y análisis numérico, para los cuales las integrales, derivados, series de taylor, límites, teorema de Green, optimización, tasas de cambio, etc. son todas las herramientas básicas que uso todos los días de mi vida.

En mi opinión, los ingenieros profesionales son los usuarios de la herramienta, mientras que yo me veo como un fabricante de herramientas. Un ingeniero ciertamente puede usar una herramienta sin saber mucho acerca de las complejidades de cómo se hizo ... Pero para elegir la herramienta adecuada para el trabajo en cuestión, debe comprender la variedad más amplia de herramientas para elegir y sus ventajas / desventajas . La única forma de comprender las ventajas de una herramienta numérica sobre otra, es comprender los componentes básicos de esa herramienta. Para esto, el cálculo es absolutamente necesario.

Daré un ejemplo de cálculo que utilicé hoy como ingeniero de software.

Estuvimos estimando el tiempo computacional de realizar una operación en cada uno de los muchos grupos de elementos. El tiempo necesario para un grupo individual es proporcional al tamaño del grupo al cuadrado.

No estamos seguros de la distribución de los tamaños de los grupos, pero dependiendo de los diferentes algoritmos que podamos usar, podremos modelarlos como distribuidos normalmente, distribuidos por la ley de potencia, distribuidos exponencialmente, etc., así como influir en los parámetros de esas distribuciones respectivas.

$X^2$$X$

En general, cosas como esta aparecen de vez en cuando. No sé si alguna vez lo he usado explícitamente en términos de software de escritura que realiza cálculos relacionados con el cálculo, ni lo he usado como una herramienta autorizada para tomar decisiones. Por lo general, eso queda para "probar algunas cosas y ver qué funciona mejor", pero definitivamente es útil para la lluvia de ideas o la estimación básica de la pizarra. En este caso, nos permite teorizar sobre qué tipo de distribución esperamos que funcione mejor, y enfocar nuestros esfuerzos en probar ese camino. Ciertamente, puedo decir que los fundamentos muy básicos del cálculo son útiles para comprender la dinámica de algunos sistemas de software. Cuatro semestres es probablemente exagerado.

Tengo una licenciatura en ingeniería informática. Todavía estoy al principio de mi carrera (actualmente en su mayoría software, pero estoy tratando de involucrarme más en el aspecto del hardware de las cosas), pero aquí está mi experiencia:

Me preguntaba qué tipo de cálculo utilizan los verdaderos ingenieros.

El tema más utilizado para mí, tanto en la escuela como en otros lugares, fue la transformación de Fourier. Surgió una y otra vez en mis clases de ingeniería eléctrica, y ahora trabajo en telecomunicaciones, donde surge en varias formas con relativa frecuencia.

Dicho esto, son los conceptos y los antecedentes, y la comprensión de la realidad física a través de las ecuaciones lo que más me ha ayudado en lugar de los números y cálculos reales (que he visto muy raramente fuera de la escuela). Saber cómo seguir ciegamente las reglas y hacer cálculos puede ayudar a tener un buen desempeño en la escuela (según el profesor), pero en mi experiencia es más importante tener una comprensión conceptual y una idea general del comportamiento de los circuitos que poder calcular un respuesta numérica exacta En el trabajo obtendríamos la respuesta de forma rápida: conecte los números a un simulador. Pero si tiene una comprensión conceptual, sabrá qué esperar y notará cuándo algo está mal.

Desde mi experiencia, diría que lo más importante es comprender bien cómo las ecuaciones describen el sistema físico y poder traducir de un lado a otro. Es decir, deje que las ecuaciones mejoren su comprensión del sistema físico.

Tal vez no use nada de eso, pero sí mejora su razonamiento matemático, lo que tiene una externalidad positiva en sus habilidades de ingeniería.

¡Si! La capacidad de describir un sistema físico en términos matemáticos y luego comprender y predecir su comportamiento es una habilidad que adquirí en la escuela, y creo que es muy importante para cualquier ingeniero.

Esto está escrito desde el punto de vista de alguien que obtiene un doctorado en ingeniería mecánica. Mi experiencia en matemáticas es algo comparable (pero definitivamente inferior) a la de los estudiantes de doctorado en un programa de matemáticas aplicadas.

Como han indicado otros, la respuesta a esta pregunta depende en gran medida del trabajo del ingeniero en particular. En muchos casos, las matemáticas avanzadas son realmente inútiles. Un ingeniero civil mencionó el trabajo basado en código como ejemplo .

Como estudiante de doctorado que trabaja en dinámica de fluidos computacional, necesito una comprensión razonablemente sólida de todo a través de PDE. La matemática es una herramienta que uso para resolver problemas, al igual que un experimentalista podría considerar una herramienta un termómetro. Desarrollo modelos matemáticos (generalmente resueltos por computadoras) para que yo y otros ingenieros los utilicen.

Temas cubiertos en mi educación de pregrado en matemáticas que encuentro útiles en mi trabajo:

• cálculo integral, diferencial y vectorial (Básicamente todo, aunque admito que solo he usado multiplicadores de Lagrange una o dos veces desde la licenciatura)

• probabilidad y estadísticas (la clase que tuve fue bastante tonta, sin embargo)

• ecuaciones diferenciales (tanto ordinarias como parciales)

También tomé un curso de análisis complejo de pregrado que me pareció fascinante, aunque debo admitir que no he usado casi nada desde entonces. Algunos de los cursos de matemática de posgrado que he tomado y que he encontrado útiles incluyen análisis asintótico, probabilidad teórica de la medida (no tanto para la teoría de la medida, directamente, sino para pensar con más cuidado) y PDE numéricos.

Sin embargo, mi experiencia en ecuaciones diferenciales de pregrado era bastante deficiente. La clase básica de EDO debe ser difícil de enseñar, porque (aproximadamente) el 75% de los estudiantes allí no necesitan saber mucho sobre EDO y el otro 25% necesita conocer bien el tema. (Podría escribir mucho más sobre este tema, en particular, qué áreas creo que eran deficientes).

Quiero ir un poco por la tangente para abordar un tema relacionado. Hay una gran cantidad de ingenieros que creen que las matemáticas avanzadas son más inútiles para ellos de lo que realmente son, y a menudo son bastante expresivos al respecto. Algunos ingenieros parecen hacer todo lo posible para evitar el uso de cualquier tipo de matemática ^[1] , incluso si sería útil. Una empresa que intentó reclutar personas de mi grupo de investigación se jactóque no hacen matemática, como si eso nos atrajera. Para ser sincero, se convirtieron en una broma interna. Gran parte de su trabajo se basa en códigos, y aunque los códigos tienden a ser conservadores, no siempre son correctos o útiles en todos los casos. Cuando alguien tiene que hacer un "juicio de ingeniería", espero que el juicio se base en un modelo matemático basado en evidencia y no en especulaciones. (No estoy seguro de por qué existe esta opinión sobre la utilidad de las matemáticas avanzadas, pero creo que proviene en parte de la dificultad de las matemáticas y también de la ignorancia).

Los ingenieros que no usan matemática avanzada deberían al menos ser conscientes de las posibles trampas del uso ciego de software de ingeniería basado en matemática avanzada. Muchos ingenieros confían en el software como si su resultado fuera infalible. Estoy financiado por una agencia gubernamental que produce un software de simulación (y ayudo a desarrollar el software) y recuerdo que uno de sus ingenieros estaba muy molesto con los usuarios que afirman haber descubierto una nueva física: temperaturas más altas que la temperatura de la llama adiabática (la más alta temperatura posible en la combustión debido a la primera ley). Lo que realmente sucedió fue que el software de simulación no utilizó un " TVD", y los desarrolladores asumieron (tal vez implícitamente) que las personas que usan el software reconocerían cuando las cosas salieran mal y agregarían una resolución adicional. Mi impresión es que no querían hacer que el software fuera infalible porque ralentizaría las cosas drásticamente, pero aparentemente este problema surgió tantas veces que agregaron el algoritmo infalible.

Esto no quiere decir que las matemáticas avanzadas siempre sean necesarias. Si bien algunos ingenieros pueden considerar divertido exagerar algo con sofisticación matemática, si no es necesario resolver un problema, probablemente sea una pérdida de tiempo.

_{[1] Por cierto, lo mismo es cierto para la programación. Para una clase impartida por mi asesor de MS, diseñó específicamente una tarea para que fuera "imposible" de resolver en Excel porque requería la solución de grandes sistemas lineales de ecuaciones muchas veces. Con mucho, la forma más fácil de hacerlo sería escribir unas pocas docenas de líneas de código. Exigió que las personas entreguen su código para recibir crédito. ¡Todavía recibió hojas de cálculo! Aparentemente puede hacer esto en Excel, ¡pero necesitaba escribir la matriz manualmente! Seguramente no es fácil ni divertido cuando necesitas una matriz de 500x500.}

Si tenemos que responder a esta pregunta muy brevemente, diría:

(1) Los ingenieros usan códigos, y el código de aplicación no necesita cálculo, sino solo cálculo y software.

(2) La mayoría de los ingenieros usan códigos escritos por otros en su carrera profesional.

(3) Los mejores escriben y modifican códigos y software, usan matemáticas. Simplifican los problemas complejos para otros, los colocan en tablas, software y fórmulas aritméticas.

En general, todas las respuestas tienen puntos válidos, pero creo que extrañan la verdadera razón por la que los ingenieros toman un plan de estudios matemático bastante estándar de 2 años: la eficiencia en el aprendizaje del resto de sus cursos. Las personas que elaboraron los planes de estudio originales no estaban interesadas en crear una base de "artes liberales" donde el cálculo ejercitara su mente, etc. Querían formar ingenieros, así de simple.

Pero para capacitar ingenieros, debe enseñarles temas como mecánica, fluidos, ondas, etc. Para aprender esos diferentes temas de manera eficiente, necesita cálculo y álgebra lineal. Claro que puede reemplazar un argumento de cálculo ideando un argumento elemental muy inteligente, pero es mucho mejor dar UN argumento mediante cálculo que abarque una variedad de casos. Lo mismo ocurre con el álgebra lineal. Por ejemplo, el concepto de si el espacio nulo de un sistema lineal es trivial o no se vincula bastante bien con el concepto análogo en las EDO lineales.

Uno podría discutir todo el día sobre si aprender de esta manera hace un mejor ingeniero o no, pero una cosa está clara para cualquiera que se le enseñe: esta es una manera muy eficiente de capacitar ingenieros. Y qué tan bien se entiende la matemática que se enseña tendrá un efecto directo sobre qué tan bien se comprende el resto del plan de estudios de ingeniería.

Cuando estaba tomando cursos como "estudiante especial" en la Universidad Carnegie Mellon de Pittsburgh (a mediados de la década de 1970), la "matemática de ingeniería" consistía en álgebra lineal, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales y "temas especiales" como series de potencia y Soluciones de la serie Fourier, así como transformaciones LaPlace. Esta es una escuela de ingeniería "pesada", y muchos tendrán programas que son "más ligeros".