Modelado matemático de circuito RC con una entrada lineal

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He encontrado muchos documentos y libros que modelan cómo se comporta el voltaje a través de un condensador dentro de un circuito RC transitorio, utilizando la siguiente ecuación:

VC=VMETROUNAX(1-mi-t/ /RC)

Desafortunadamente, no he encontrado ningún recurso que discuta cómo modelar matemáticamente un circuito RC, que sea uno que proporcione una fuente de voltaje que aumente linealmente como entrada.

Intentar sustituir VMAX en la ecuación anterior, por una ecuación lineal, da como resultado una ecuación que converge hacia la ecuación lineal, lo que significa que la corriente cesaría después de un tiempo (I = (VS-VC) / R). Obviamente, esto no es cierto, ya que deberíamos ver el enfoque actual como un valor constante con el tiempo, según lo dado por:

yoC=CreVret

Soy plenamente consciente de cómo se comportaría el voltaje a través de un condensador con una fuente de voltaje que aumenta linealmente, hay muchos simuladores que muestran eso, e incluso puedo pensar en una explicación física de los resultados. Lo que deseo saber es cómo se podría modelar matemáticamente el voltaje a través de un condensador con una fuente de voltaje que aumenta linealmente, de manera similar a la ecuación que modela el voltaje a través de un condensador en transitorios.

CTXz
fuente
3
La primera ecuación que utiliza es la solución particular para un circuito en serie RC con una fuente de voltaje fija , con condiciones iniciales (pre) definidas. En su caso, debe comenzar de nuevo dibujando su circuito, aplicando las leyes de Kirchhoff nuevamente y resolviendo el ODE. Por lo tanto, no hay sustituciones en la solución particular incorrecta .
Huisman
1
La primera ecuación es el resultado de resolver KVL para una función de paso. Necesitas resolver el caso de la rampa.
Mattman944
Para una señal de entrada general y un sistema de primer orden, debe resolver la ecuación diferencial utilizando el método del factor integrador .
Chu
Su primera ecuación es la respuesta al impulso del circuito RC. Tome la convolución de la respuesta al impulso y su función lineal. Eso te dará la salida del circuito.
user4574

Respuestas:

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Desafortunadamente, no he encontrado ningún recurso que discuta cómo modelar matemáticamente un circuito RC, que sea uno que proporcione una fuente de voltaje que aumente linealmente como entrada.

Esta respuesta se trata de convertir el circuito a una función de transferencia en el dominio de frecuencia y luego multiplicar ese TF con la transformada de Laplace de la entrada para obtener el dominio de frecuencia equivalente de la salida. Finalmente, se realiza una operación inversa de Laplace para obtener la fórmula del dominio del tiempo para la salida.

La transformada de Laplace de un filtro RC de paso bajo es: -

11+sRC

Esta es la función de transferencia del dominio de frecuencia, por lo que si multiplica esto por el equivalente del dominio de frecuencia de una rampa (1s2) obtienes la salida del dominio de frecuencia: -

1s2(1+sRC)

Usando una tabla de transferencia de laplace inversa, esto tiene una salida de dominio de tiempo de: -

t+RCmi(-tRC)-RC

Vea el ítem 32 en la tabla o, si la fórmula no tenía una entrada obvia en la tabla, puede usar una calculadora inversa de Laplace que la resuelva numéricamente como esta .

La calculadora le permite construir la fórmula e ingresar un valor numérico para RC. Utilicé un valor RC 7 en el ejemplo anterior para poder ver cómo ese número se propagó a la respuesta final. El último obstáculo es sustituir ese valor propagado de 7 con RC. En otras palabras, es un solucionador numérico pero, sin embargo, es una herramienta muy útil para tener a mano:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Andy alias
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2
Excelente solución, pero debe agregar una constante para la tasa de rampa. Quizás: vr = Vr * t
Mattman944
@ Mattman944 ​​tal vez debería, ¡pero asumí una rampa de 1 voltio por segundo!
Andy aka
Sí, por supuesto, 1 V / s, pero el OP probablemente quiera una solución general.
Mattman944
3
@ Mattman944 ​​Creo que nuestra pequeña discusión dará una pista suficiente sobre el OP.
Andy aka
7

Para una señal de entrada general y un sistema de primer orden, puede resolver la ecuación diferencial mediante el factor integrador, (yoF), método * o la transformación de Laplace, entre otros. El siguiente análisis utiliza elyoF método.

Consulte editar, a continuación, para obtener una explicación del método del factor integrador .

Dado el circuito que describe, la ecuación de bucle es:

vyo=vR+vC

vyo=yoR+1Cyoret

Diferenciando:

revyoret=Rreyoret+yoC

Reorganizando:

reyoret+yoRC=1Rrevyoret

Señalando que τ=RC:

reyoret+yoτ=1Rrevyoret

En tu caso particular, vyo es una rampa, por lo tanto: vyo=Kt, dónde K Es la pendiente de la rampa.

Por lo tanto revyoret=K, y la ecuación a resolver por el yoF El método es:

reyoret+yoτ=KR

los yoF es:

yoF=mi1τret=mitτ

Por lo tanto:

yomitτ=KRmitτret+UNA

yomitτ=KCmitτ+UNA

yo=KC+UNAmi-tτ

Asumiendo que las condiciones iniciales son cero, UNA=-KC, por lo tanto:

yo=KC(1-mi-tτ)

y

vC=K(t-τ+τmi-tτ)

.................................................. .................................................. ..................................................

Editar: Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (ODE) por el factor integrador (yoF) método:

Para la ODE:

reyret+PAGSy=Q, dónde PAGS y Q son funciones de t (que pueden ser constantes), seguimos los pasos:

  1. Determine el factor integrador: yoF=miPAGSret

  2. La solución general se encuentra resolviendo: y.yoF=Q.yoFret+UNA, dónde UNA Es una constante arbitraria.

  3. Determinar UNA desde la condición inicial o una condición límite, si se conoce.

Por ejemplo, el ODE: reyret+2y=3, con y(0 0)=5 5

Solución: identificamos PAGS=2,Q=3

Por lo tanto

yoF=mi2ret=mi2t

Por lo tanto

ymi2t=3mi2tret+UNA

ymi2t=32mi2t+UNA

Dividiendo a través de mi2t

y=1,5+UNAmi-2t

Aplicando la condición inicial:

y(0 0)=5 5=1,5+UNA; por lo tantoUNA=3.5

Dando: y=1,5+3.5mi-2t

Chu
fuente
3
(+1) Pero deberías explicar tus abreviaturas un poco más: ¿cuál es el método IF para resolver una ecuación diferencial? No conozco ese acrónimo, y buscarlo en Google directamente no muestra un enlace directo. Al ver sus cálculos, solo puedo adivinar que quiere decir "Factor de integración" , pero no creo que la abreviatura sea generalizada, por lo que debe vincular a una fuente para que la respuesta sea más autónoma (si el OP no conoce el abreviatura o la técnica, podría dejarse preguntándose por qué estás haciendo lo que haces).
Lorenzo Donati - Codidact.org
@LorenzoDonati, gracias por tus comentarios. He agregado una edición en el método del factor integrador.
Chu
2

También podría agregar otro enfoque basado en la recomendación de Chu:

La forma estándar para una ecuación diferencial lineal de primer orden es:

reyret+PAGSXy=QX

Si puede configurar cosas así, entonces su factor de integración (que es una forma ingeniosa de resolverlos) es:

μ=miPAGSXreX

Entonces la solución es:

y=1μμQXreX

Supongamos el siguiente circuito:

esquemático

simular este circuito : esquema creado con CircuitLab

Luego de nodal, obtienes:

V(t)R+reV(t)retC=Vs(t)RreV(t)ret+1RCV(t)=Vs(t)RC

Que está en forma estándar, ahora.

Entonces, PAGSt=1RC y Qt=1RCVs(t). Por lo tanto, el factor integrador es:μ=mitRC y:

V(t)=mi-tRCmitRC1RCVs(t)ret=1RCmi-tRCVs(t)mitRCret

Debería poder realizar fácilmente lo anterior dado un método suficientemente simple Vs(t). (No olvides tu constante de integración).

jonk
fuente
Creo que debería ser más constante en el uso de subíndices o corchetes, por ejemplo Vt o V(t)
Huisman
@Huisman, estoy de acuerdo. Yo haré el cambio.
jonk
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lo que escribiste como Vmax se puede cambiar para tu voltaje que cambia con el tiempo siempre que no sea demasiado rápido que la constante de tiempo del condensador, debería darte un modelo decente.

Si desea una respuesta más precisa, puede transformar Fourier / Laplace en su voltaje de entrada y calcular la reactancia para el capacitor en cada frecuencia que obtenga, resolver cada uno y sumarlos para obtener el voltaje final.

La segunda opción que ofrece una solución mucho más precisa es bastante más compleja que la primera cosa que sugerí, que solo puede proporcionar una solución precisa si el voltaje aumenta mucho más lentamente que la carga del condensador.

editar: como algunos de los comentarios mencionados también es posible resolver la ecuación diferencial para una rampa en lugar de un paso.

Juan
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