¿Por qué un circuito RC no cambia la forma de un seno de entrada?

En la imagen de arriba, la onda cuadrada roja es la entrada y la onda azul es la salida de un circuito RC. No puedo entender por qué obtengo una onda sinusoidal perfecta cuando alimento una onda sinusoidal como entrada. El capacitor debe tomarse un tiempo para cargarse y descargarse. Entonces, mi intuición grita que la salida es una onda periódica cuyo período es la mitad de la entrada. ¿Alguien podría aclarar esto por mí? ¡Gracias!

En el dominio del tiempo, ¿no debería hacer algo como esto?
En t = 0, el capacitor tiene voltaje 0. Como el voltaje de entrada es grande, el condensador sigue cargándose y se encuentra con la onda sinusoidal de entrada cuando cae.

Luego, el voltaje de entrada es más bajo que el voltaje del condensador, por lo que el condensador comienza a descargarse y nuevamente se encuentra con la onda sinusoidal de entrada cuando sube.

Aprende a pensar en el espacio de frecuencias. Esta es una de esas cosas que es difícil de ver en el dominio del tiempo, pero cae muy bien en el dominio de la frecuencia.

Una onda sinusoidal es una frecuencia única "pura". Un filtro RC es un sistema lineal que no puede distorsionarse, lo que significa que no puede crear frecuencias en la salida que no estén en la entrada. Cuando solo pones una frecuencia, la salida solo puede contener esa frecuencia. Las únicas preguntas son cuál será la amplitud relativa y el cambio de fase de entrada a salida.

La razón por la que una onda cuadrada no produce una onda cuadrada es porque una onda cuadrada contiene muchas frecuencias. Cada uno de ellos se puede atenuar y cambiar de fase de forma independiente. Cuando cambia la fuerza relativa y las fases de los armónicos, obtiene una señal de aspecto diferente en el dominio del tiempo.

Una onda cuadrada puede considerarse como la superposición de una serie infinita de senos. Estos son todos los armónicos impares (múltiplos enteros impares de la frecuencia fundamental). La amplitud de estos armónicos disminuye a frecuencias más altas.

Puede pasar una onda cuadrada a través de varios filtros de paso bajo RC en sucesión, cada uno con una frecuencia de caída muy por debajo de la frecuencia de onda cuadrada. Después de cada filtro, el resultado se parece cada vez más a un seno. Esto se debe a que dichos filtros atenúan las frecuencias altas más que las bajas. Esto significa que los armónicos de la onda cuadrada se atenúan más que los fundamentales. Si haces esto lo suficiente, los armónicos tienen tan poca amplitud en relación con lo fundamental, que todo lo que ves es lo fundamental. Esa es una frecuencia única, entonces un seno.

Adicional

No es así como reaccionaría cualquier filtro RC:

Para un filtro de paso bajo RC, cuando la frecuencia de entrada está muy por debajo del rolloff, la salida generalmente sigue a la entrada. Muy por encima de la frecuencia de caída, la salida es la integral de la entrada.

De cualquier manera, no habrá cambios repentinos en la pendiente de salida como muestra. No hay nada especial en el cruce de entrada por encima o por debajo de la salida, ya que esto ocurre sin problemas. Obtiene un punto de inflexión en la salida, pero es una joroba suave ya que la entrada se aproxima sin problemas antes y sale sin problemas después.

Puede ser instructivo escribir un bucle para simular esto usted mismo. Todo lo que tiene que hacer en cada paso es cambiar la salida por una pequeña fracción de la diferencia instantánea de la entrada menos la salida. Eso es. Luego, arroje una onda sinusoidal hacia él y vea cómo la salida sigue suavemente para hacer otro seno, aunque se retrasa en la fase y baja en amplitud.

Recuerde que la tasa de cambio del voltaje del capacitor depende de la diferencia de voltaje entre el voltaje de entrada y el voltaje del capacitor. Tu gráfico no representa esto.

Cuando la entrada y el condensador están a 0 V y la entrada comienza a aumentar, el voltaje del condensador debe comenzar a aumentar lentamente, ya que el voltaje de entrada (y, por lo tanto, la diferencia de voltaje) también es pequeño.

Cuando la entrada alcanza su punto máximo, la diferencia de voltaje es máxima, y ​​aquí el voltaje del condensador aumenta más rápido. Cuando el voltaje de entrada comienza a disminuir, la velocidad de carga del condensador también disminuye. Después de que los dos voltajes se hayan encontrado, la diferencia es nuevamente pequeña para comenzar, por lo que la velocidad de descarga también es pequeña. Resulta que esto resulta en otra onda sinusoidal.

El siguiente gráfico fue simulado (con una hoja de cálculo) con la regla mencionada anteriormente. La diferencia de voltaje entre la entrada y el voltaje del condensador es mayor un poco antes del pico del voltaje de entrada.

$2\pi$

En su gráfico, el condensador se descarga más rápido justo después de que se encuentran los dos voltajes, pero no es allí donde la diferencia de voltaje es mayor. Con una entrada de onda cuadrada, lo sería, ya que el voltaje de entrada no volvería a cambiar hasta otro "paso" en la onda cuadrada. Sin embargo, una entrada de onda sinusoidal cambia constantemente.

Obtendrá una onda sinusoidal de una onda sinusoidal si su constante de tiempo RC permite que el capacitor se cargue / descargue a la misma velocidad o más rápido a medida que cambia la forma de onda de entrada.

Su forma de onda de salida se retrasará debido a que el capacitor se carga y descarga ligeramente detrás de los cambios en la forma de onda de entrada, lo que se conoce como retraso de fase.

Encontrará muchas de las teorías y matemáticas detrás de esto en Internet, si aún no lo tiene.

Para mí, el dominio del tiempo aquí es más explicativo. Si observa su primer gráfico, verá lo que aparece como una función de paso (para el primer medio período). Es decir, de repente aplicas un voltaje y luego lo mantienes constante. Esto significa que el condensador intentará alcanzar el voltaje aplicado de acuerdo con sus propias leyes, aquí en la forma 1-exp(-x).

Si, por otro lado, aplica una onda sinusoidal, durante el mismo medio período ya no tiene un fuerte aumento de voltaje, y no se mantiene constante: aumentará más y más lentamente, hasta que se alcance un pico, entonces disminuirá más y más rápido, veraniegamente alrededor de su pico. Esto significa que el capacitor primero se cargará, más y más lentamente, luego se descargará, cada vez más rápido. Lo que ha dibujado es el resultado de (al menos) una carga continua; el seno también se descargará.

RC$\sin(x)=i\frac{exp(-ix)-exp(ix)}{2}$