¿Cómo visualizas la frecuencia negativa en el dominio del tiempo?

En el campo del procesamiento de señales digitales, he visto personas que usan palabras

Señales complejas y frecuencias negativas. Por ej. en FFT Spectrum.

¿Realmente tiene un significado significativo en el dominio del tiempo o es solo una parte de la simetría matemática?

¿Cómo visualizas la frecuencia negativa en el dominio del tiempo?

Los FFT funcionan tratando las señales como bidimensionales, con partes reales e imaginarias. ¿Recuerdas el círculo unitario ? Las frecuencias positivas son cuando el fasor gira en sentido antihorario, y las frecuencias negativas son cuando el fasor gira en sentido horario.

Si tira la parte imaginaria de la señal, se perderá la distinción entre frecuencias positivas y negativas.

Por ejemplo ( fuente ):

Si trazara la parte imaginaria de la señal, obtendría otra sinusoide, la fase cambiada con respecto a la parte real. Observe cómo si el fasor girara en sentido contrario, la señal superior sería exactamente la misma, pero la relación de fase de la parte imaginaria con la parte real sería diferente. Al desechar la parte imaginaria de la señal, no tiene forma de saber si una frecuencia es positiva o negativa.

En el dominio del tiempo, una frecuencia negativa está representada por una inversión de fase.

Para una onda cosenoidal, no hace ninguna diferencia, ya que es simétrica alrededor del tiempo cero de todos modos. Comienza en 1 y cae a cero en cualquier dirección.

Sin embargo, una onda sinusoidal comienza con un valor de cero en el tiempo cero y aumenta en la dirección positiva, pero cae en la dirección negativa.

Aquí hay un enfoque ligeramente diferente. Veamos qué función periódica tiene transformada de Fourier exactamente con frecuencia .$-1$

Es la función para t ∈ [ 0 , 1 ] .$t \mapsto e^{-2\pi \mathrm{i} t} = \cos(-2\pi t) + \mathrm{i}\sin(-2\pi t) = \cos(2\pi t) - \mathrm{i}\sin(2\pi t)$$t \in [0,1]$

Observe que esta función tiene la misma parte real que la función . Esta última función tiene un solo componente de frecuencia: la frecuencia 1 .$t \mapsto e^{2\pi \mathrm{i}t}$$1$

La razón por la que estas frecuencias negativas aparecen cuando se consideran solo señales reales es porque proporcionan una manera más fácil de describir valores propios estrictamente complejos de la acción del círculo unitario en su espacio de funciones.

Editar: para ampliar el último comentario, para hacer un análisis de frecuencia, lo que realmente deseamos hacer es tomar el espacio de las funciones de valor real en , F ( [ 0 , 1 ] , R ) y poder expresar cualquier función f ∈ F ( [ 0 , 1 ] , R ) en términos de alguna base natural de F ( [ 0 , 1 ] , R$[0,1]$$F([0,1], \mathbb{R})$$f \in F([0,1], \mathbb{R})$$F([0,1], \mathbb{R})$. Estamos de acuerdo en que no lo hace realmente mucho si empezamos nuestra época es a 1 o 1 / 2 a 3 / 2 por lo que realmente desearíamos que esto comporte base bien con respecto al operador de desplazamiento f ( x ) ↦ f ( a + x ) .$0$$1$$1/2$$3/2$$f(x) \mapsto f(a+x)$

El problema es, con adjetivos apropiados, no es una suma directa de funciones que se comportan bien con respecto al desplazamiento. Es una suma directa (completa) de espacios vectoriales bidimensionales que se comportan bien con respecto al operador de desplazamiento. Esto se debe a que la matriz que representa el mapa f ( x ) ↦ f ( a + x ) tiene valores propios complejos. Estas matrices serán diagonales (en una base apropiada) si complicamos la situación. Por eso estudiamos F ( [ 0 , 1 $F([0,1], \mathbb{R})$$f(x) \mapsto f(a+x)$ lugar. Sin embargo, introducir números complejos tiene una penalización: obtenemos un concepto de frecuencias negativas.$F([0,1], \mathbb{C})$

Todo esto es un poco abstracto, pero para ver concretamente de qué estoy hablando, considere mis dos funciones favoritas: sin(2πt)=

Considere el cambio por ,s(f(x))=f(x+$\frac{1}{4}$. s(cos(2πt))=-sin(2πt)s(sin(2πt))=cos(2πt) El espacio de espacio vectorial real decos(2πt)ysin(2πt)es un espacio vectorial bidimensional de funciones que es preservado por$s(f(x)) = f(x+\frac{1}{4})$

$s$$e^{2\pi \mathrm{i} t}$$e^{-2 \pi \mathrm{i}t}$

$s$$e^{-2 \pi \mathrm{i} t}$

Una excelente manera de visualizar frecuencias negativas es modular la señal original. Digamos que tienes una onda sinusoidal con frecuencia$\omega_0$ (en radianes):

El espectro de esta señal tiene un pico en $\omega=\omega_0$ y uno en la frecuencia negativa $\omega=-\omega_0$.

Modulando la señal $x(t)$ básicamente cambias el espectro original por la frecuencia portadora $\omega_c>\omega_0$:

Now the original negative peak at $-\omega_0$ has become visible after shifting it up by $\omega_c$. It is now at $\omega=\omega_c-\omega_0$. The peak at positive frequencies is not at $\omega=\omega_c+\omega_0$.

"How do you visualize negative Frequency in Time domain ?"

I interprete this question as follows: Do negative frequencies exist in reality?

If this interpretation is correct (and meets the core of the question) my answer is simply: NO - they do not exist.

More than that (to be a bit "sophistic") - "frequencies" cannot exist because they are not a physical quantity. Instead, we have sinusoidal waves with some specific properties - and on of these properties is the number of periods per second. And that`s what we call "frequency". And this number cannot be negative.

Hence, the introduction of signals having "negative frequencies" may have a lot of advantages but it is a pure abstract and theoretical "tool" allowing simplifications of mathematical expressions/descriptions.