¿"Docker run" realmente SSH en el contenedor?

No, no hay SSH involucrado. Docker utiliza una tecnología llamada espacios de nombres para proporcionar el espacio de trabajo aislado llamado contenedor. docs.docker.com/engine/docker-overview/#namespaces

@oryades deberías pensar en convertir este comentario en una respuesta en mi humilde opinión.

Como nota al margen en la mayoría de los casos, desea en docker run -it --rm ubuntu su -lugar de ejecutar bash. La ejecución su - simula un inicio de sesión completo y, como resultado, inicializa algunas variables de entorno como TERM.