Un simple (?) Divertido problema combinatorio!

Arreglemos y un número entero t > 0 .$0<E<1$$t>0$

para cualquier para cualquier vector ˉ c ∈ [ 0 , 1 ] n tal que ∑ i ∈ [ n ] c i ≥ E × $n$$\bar{c} \in [0,1]^n$$\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

No sé si la declaración es verdadera o falsa. Yo creo que es verdad.

Mi intuición proviene de la observación de que para los vectores (con la propiedad deseada sobre la suma) tenemos A ˉ c = ( E × $\bar{c} \in \{0,1\}^n$ ; en este caso solo podemos seleccionar un subconjunto del conjunto{i| ci=1}.$A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$$\{ i ~|~ c_i = 1 \}$

En el otro caso, podemos crear un buen subconjunto (st la suma es mayor que ) usando la coordenada en { i | c i > E } pero también, quizás, usando pocas coordenadas del conjunto { i | c i ≤ E } podríamos crear otro buen conjunto!$E \times t$$\{ i ~|~ c_i > E \}$$\{ i ~|~ c_i \leq E \}$

¡Entonces, pruébalo o encuentra el error! ¡esperando que pueda ser un juego divertido para ti!

Motivación de la pregunta :

Suponga que tiene una variable aleatoria , una medida típica de "cuánta aleatoriedad" hay en X es la entropía mínima$X\in \{0,1\}^n$$X$

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

En cierto sentido intuitivo, la entropía mínima es el peor caso de la famosa entropía de Shannon (ese es el caso promedio ).

Estamos interesados ​​en bajar la entropía mínima de la variable aleatoria donde Y se distribuye uniformemente sobre el conjunto { y | ∑ i y i = t } .$(Z=X \wedge Y| Y)$$Y$$\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$

En términos generales, si tenemos suerte, podemos atrapar los bits de que tienen "buena entropía" y, por lo tanto, si H ∞ ( X ) ≥ E n, entonces H ∞ ( Z | Y ) ≥ E $X$$H_{\infty}(X)\geq En$$H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

¿Cuál es la probabilidad de que tengamos suerte?

El problema está bien estudiado y existe mucha literatura, por ejemplo, véase el Lema A.3. en criptografía de clave pública resistente a fugas en el modelo de recuperación limitada

La conjetura en la publicación no se cumple, pero la conjetura más débil (con respecto al piso) mencionada en los comentarios sí se cumple. De hecho, algo más fuerte se sostiene.

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$$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$$

$n=3$$c=(1, 1, 0.7)$$E=2.7/3=0.9$$t=2$$E\, t = 1.8$

$$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$$ $S$$\{1,1\}$$\{1,1,0.7\}$$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

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$\lfloor E\, n \rfloor$

$0<E<1$$n,t>0$$c \in [0,1]^n$$\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

$$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$$

$a=\lfloor E\, n\rfloor$$a=E\,n$$E$$c_i$$\sum_i c_i \ge E\,n$$E\,t$$t\le a$

$S\subseteq [n]$$n-d$$d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$$\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$$S$$d$$\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

$S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$$n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

$a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$$a/n = E < 1$$~~\Box$