Generalización de la afirmación de que un monoide reconoce el lenguaje si el monoide sintáctico divide el monoide

Deje ser un alfabeto finito. Para un lenguaje dado el monoide sintáctico es una noción bien conocida en la teoría del lenguaje formal. Además, un monoide reconoce un lenguaje si existe un morfismo tal que .$A$$L \subseteq A^{\ast}$ $M(L)$$M$$L$$\varphi : A^{\ast} \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$

Entonces tenemos el buen resultado:

Un monoide reconoce si es una imagen homomórfica de un submonoide de (escrito como ).$M$$L \subseteq A^{\ast}$$M(L)$$M$$M(L) \prec M$

Lo anterior es generalmente estados en el contexto de lenguajes regulares, y luego los monoides anteriores son todos finitos.

Ahora supongamos que sustituimos con un monoide arbitrario$A^{\ast}$$N$ , y decimos que un subconjunto$L \subseteq N$ es reconocido por$M$ si existe un morfismo$\varphi : N \to M$ tal que$L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$ . Entonces todavía tenemos que si$M$ reconoce$L$ , entonces$M(L) \prec M$ (ver S. Eilenberg, Autómatas, Máquinas e Idiomas, Volumen B), pero ¿se mantiene lo contrario?

En la prueba de lo contrario se prueba explotando la propiedad de que si N = φ ( M ) para algún morfismo φ : M → N y ψ : A ∗ → N también es un morfismo, entonces podemos encontrar ρ : A ∗ → M tal que φ ( ρ ( u ) ) = ψ ( u ) se mantiene, simplemente eligiendo alguna ρ ( x ) $A^{\ast}$$N = \varphi(M)$$\varphi : M \to N$$\psi : A^{\ast} \to N$$\rho : A^{\ast} \to M$$\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$ para cada x ∈ A y que se extiende a un morfismo de A * a M . Pero esto no funciona para los monoides arbitrarios N, por lo que espero que lo anterior sea falso en ese momento. Y si es falso, ¿para qué tipo de monoide además de A ∗ sigue siendo cierto, y esos monoides han recibido alguna atención en la literatura de investigación?$\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$$x \in A$$A^{\ast}$$M$$N$$A^{\ast}$

Sí, estos monoides han recibido atención en la literatura de investigación y en realidad conducen a preguntas difíciles.

Definición . Un monoide se llama proyectivo si se cumple la siguiente propiedad: si f : N → R es un morfismo monoide yh : T → R es un morfismo surjective, entonces existe un morfismo g : N → T tal que f = h ∘ g .$N$$f:N \to R$$h:T \to R$$g:N \to T$$f = h \circ g$

Puede encontrar una larga discusión sobre los monoides proyectivos en [1], justo después de la Definición 4.1.33. Se muestra en particular que cada semigrupo finito proyectivo es una banda (un semigrupo en el que cada elemento es idempotente). Pero lo contrario no es cierto y en realidad es un problema abierto decidir si un semigrupo finito es proyectivo.

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