Let ser un lenguaje, entonces definimos la congruencia sintáctica como u ~ v : ⇔ ∀ x , y ∈ X * : x T y ∈ L ↔ x v y ∈ L y el cociente monoid X * / ~ L es llamado el monoide sintáctica de L .
Ahora, ¿qué monoides surgen como monoides sintácticos de idiomas? Encontré idiomas para grupos simétricos y para el conjunto de todas las asignaciones en algún conjunto finito subyacente. Pero, ¿qué hay de otros? ¿Hay monoides finitos que no podrían escribirse como el monoide sintáctico de algún idioma?
Para un autómata dado, al considerar el monoide generado por las asignaciones inducidas por las letras en los estados (el llamado monoide de transformación) cuando la composición de la función se lee de izquierda a derecha, sostiene que el monoide de transformación del autómata mínimo es precisamente el monoide sintáctico Esta observación me ayudó a construir los ejemplos mencionados anteriormente.
No me permito tampoco que sea bastante simple realizar cualquier monoide finito como el monoide de transformación de algún autómata, simplemente tome los elementos de M como estados y considere cada generador de M como una letra del alfabeto y las transiciones se dan por q x para algún estado q y letra x , entonces el monoide de transformación es isomorfo a M en sí mismo (esto es similar al teorema de Cayley sobre cómo los grupos se integran en grupos simétricos).
Respuestas:
Parece que hay un documento que responde a esta pregunta exacta, e incluso en el caso más general de los idiomas regulares , pero no puedo encontrar una versión de acceso abierto. Si alguien encuentra un enlace sin paywall, sería genial. Solicité el texto completo en ResearchGate.ω
Título : ¿Qué monoides finitos son monoides sintácticos de lenguajes omega racionales ?
Autores : Phan Trung Huy, Igor Litovsky, Do Long Van
Resumen : Se introduce una noción de conjuntos rigid-rígidos para un monoide finito. Demostramos que un monoide finito M es el monoide sintáctico de Arnold de algún lenguaje ω racional (ω-sintáctico para abreviar) si y solo si existe un conjunto rigid-rígido para M. Esta propiedad se muestra como decidible para los monoides finitos . Se establece la relación entre la familia de los monoides sy-sintácticos y la de los monoides ∗-sintácticos (es decir, los monoides sintácticos de lenguajes racionales de palabras finitas).
Además, la página de Wikipedia sobre monoides sintácticos dice:
[1] McNaughton, Robert; Papert, Seymour (1971). Autómatas sin mostrador. Monografía de investigación 65. Con un apéndice de William Henneman. MIT Press. pag. 48. ISBN 0-262-13076-9. Zbl 0232.94024.
[2] Lawson (2004) p.233.
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De una manera más elemental que la respuesta de Denis, lo siguiente se extrae de las "Teorías de la computabilidad" de Pippenger, p.87, y se comprueba inmediatamente.
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