¿Es decidible si la longitud de salida de un transductor está limitada por la longitud de entrada?

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Los transductores considerados aquí son aquellos que Wikipedia llama transductores de estado finito . El comportamiento de un transductor , es decir, la relación que calcula, se escribe : una palabra es una salida para iff .T[T]yxx[T]y

Pregunta: ¿Se puede resolver el siguiente problema:

Dado: Un transductor y un lenguaje regular Decidir: ¿Sostiene que , una palabra, implica que?L x L y x [ T ] y | y | | x |TL
xLyx[T]y|y||x|

Estoy buscando análisis no triviales / subcajas solucionables, reducción a problemas conocidos y / o referencias relacionadas. (en este momento ni siquiera estoy seguro de que sea decidible en general ...?)

Motivación: este problema se inspiró en el análisis / investigación sobre la demostración automatizada de teoremas de problemas teóricos de números en general y uno altamente estudiado, la conjetura de Collatz , en particular.

vzn
fuente
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ps (debería haber mencionado, como se sabe desde hace tiempo) Los transductores FSM son lo suficientemente potentes como para calcular iteraciones individuales de "descripciones instantáneas" de TM . por lo tanto, el problema parece estar relacionado con LBA y CSL .
vzn
Porhablas del número de salidas en la entrada , ¿verdad? No es el tamaño de las salidas, en cuyo caso sería bastante sencillo. X|F(x)|x
Michaël Cadilhac
x,F(x) son ambas palabras y es la longitud de la palabra "salida". tengo algunas ideas pero no veo nada en este momento, de ahí la pregunta. su debido presumiblemente no trivial por ejemplo, para ε entradas / salidas en algunas transiciones etc.|F(x)|ϵ
VZN
Así que implícitamente asumes que tu transductor es funcional; en cuanto a la notación, no estaba claro para mí :-) Entonces, ¿qué pasa con lo siguiente? Deje que sea ​​un transductor (posiblemente no determinista) y L sea ​​un lenguaje regular dado. Modifique T en un transductor T ' para que compruebe si su entrada está en L , y todos sus estados son accesibles y corregibles. Entonces | T ( w ) | | w | para todo w L si no hay un ciclo simple en el transductor T TLTTL|T(w)||w|wLTpara el cual la entrada es más pequeña que la salida, y algunas propiedades fáciles adicionales en las transiciones que no aparecen en ningún SCC.
Michaël Cadilhac
Okay. para "entrada es más pequeña que la salida" quieres decir durante el ciclo? Creo que vale la pena escribir esto como respuesta. había otra forma diferente de formular este / problema relacionado con criterios más estrictos que presumiblemente no es (tan) fácil, tal vez lo intente nuevamente ("parte 2 / secuela / seguimiento") si su respuesta parece correcta. Este problema actual es probablemente casi un caso especial del problema más amplio.
vzn

Respuestas:

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El otro contribuyente eliminó su respuesta, tal vez para permitirme extender mi comentario anterior, así que aquí está.

Sea un transductor posiblemente no determinista, y L sea ​​un lenguaje regular. Modifique T en un transductor T ' que verifique que su entrada esté en L (por ejemplo, cambiando el conjunto de estados en el producto cartesiano de los conjuntos de estados de T y L , y modificando la función de transición para que la parte L de los estados se actualiza correctamente, conservando el comportamiento de T ).TLTTLTLLT

Una rama de es una secuencia ρ 1 C 1 ρ 2 C 2ρ n C n ρ n + 1 tal que ρ 1 ρ 2ρ n + 1 es una ruta simple de aceptación en T , y cada C i es un componente fuertemente conectado de T cuyos estados incluyen el destino de ρ i (y el origen de ρ iTρ1C1ρ2C2ρnCnρn+1ρ1ρ2ρn+1TCiTρi ). La rama esmansasi:ρi+1

  1. La longitud de entrada de la ruta es mayor o igual que su longitud de salida;ρ1ρ2ρn+1

  2. Para cualquier , cualquier ciclo simple en C i , la longitud de entrada del ciclo es mayor o igual que su longitud de salida.iCi

Hecho: Para cualquier x , y , x [ T ] y implica | y | | x | ] si todas las ramas son mansas.[x,yx[T]y|y||x| ]

La prueba es bastante inmediata. La última propiedad es decidible (ya que el número de ramas está limitado y el número de ciclos simples también), esto muestra que el problema de la pregunta es decidible.

Michaël Cadilhac
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Parece de la descripción que es incluso decidible en NL (por lo tanto, en P), suponiendo que es dada por una FSA. L
Emil Jeřábek
Le envié un aviso (lo siento, no leí cuidadosamente su comentario antes de publicarlo), pero probablemente no lo recibió después de eliminar la respuesta :-) ... pero ahora, como reembolso de tiempo, debe cambiar a (¡y resuelva!) este más complicado: " Problema abierto : ¿existe y una codificación computable S n tal que, para todos k 1 , L S nn = L S nn + k ?" :-D :-Dn1Snk1LnSn=Ln+kSn
Marzio De Biasi
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@ EmilJeřábek De hecho, está bastante claro en co-NL (por lo tanto, en NL).
Michaël Cadilhac
@MarzioDeBiasi ¡Gracias! De hecho, no vi tu aviso ☺ Trabajaré para reembolsar tu tiempo cuando tenga algo ☺
Michaël Cadilhac