La prueba estándar del límite de Chernoff (del libro de texto de Algoritmos Aleatorios ) utiliza la desigualdad de Markov y las funciones generadoras de momentos, con un poco de expansión de Taylor. Nada demasiado difícil, pero algo mecánico.
Pero hay otras pruebas vinculadas a Chernoff que exponen la estructura más profunda que impulsa el resultado. Por ejemplo, hay una versión teórica de la información que se aplica a través del método de tipos, ejemplificado en este artículo de Impagliazzo y Kabanets , así como en esta breve publicación de Sanjoy Dasgupta . Estas últimas pruebas son más "intuitivas" ya que proporcionan una generalización del resultado estándar, además de explicar de dónde provienen los términos divertidos en el exponente (es una divergencia KL).
¿Cuáles son buenos ejemplos de tales cosas? Para ser más concreto, aquí están las reglas:
- La declaración debe ser razonablemente conocida (el tipo de cosas que se enseñarían en algún tipo de clase de posgrado)
- Debe haber una prueba "estándar" disponible en los libros de texto o material de referencia estándar que se enseñe "comúnmente"
- Debería haber una prueba alternativa que no sea tan conocida, que NO se enseñe comúnmente y que pruebe una declaración más general o vincule la declaración a una estructura matemática más profunda.
Comenzaré con dos ejemplos.
El chernoff atado
- prueba de "libro de texto": desigualdad de Markov, funciones generadoras de momentos, expansión de Taylor (MR)
- Prueba poco común y perspicaz: método de tipos, exponente de cola que involucra divergencia KL
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- Prueba de "libro de texto": caso base que implica un polinomio univariado. Inducción sobre el número de variables.
- Prueba "poco común": argumento geométrico a través de Dana Moshkovitz (y Per Vognsen )
Un ejemplo por respuesta por favor.
ps No estoy necesariamente insinuando que se debe enseñar la prueba poco común : una prueba directa a menudo es más fácil para los estudiantes. Pero en el sentido de que "las pruebas nos ayudan a entender", estas pruebas alternativas son muy útiles.
uno de la complejidad, la prueba de que BPP está en . La prueba del libro de texto se debe a Lautemann, simplemente escriba la expresión y demuestre que funciona con un argumento probabilístico simple. La prueba poco común: adivina una función difícil ( para adivinar, para verificar la dureza) y conéctala al generador Nisan-Wigderson.Σp2 ∃∀ ∃ ∀
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Todos sabemos que para Bernoulli debería comportarse como un gaussiano con desviación estándar , ¿verdad? ¡Entonces, demostrémoslo relacionándonos directamente con los gaussianos! Tomando un número entero,∑iaiXi ±1 Xi σ=∥a∥2 t≥2
Ahora, veamos la suma anterior a la derecha. En cualquier sumando, algunos son impares, lo que hace que la expectativa sea , o todos son pares, por lo que es . Imagina reemplazar todos los con Gaussian . Entonces estaríamos en un escenario similar: impar daría , y todos los pares harían al producto al menos . Entonces, el caso gaussiano, término por término, domina el caso de Bernoulli. Así,rj 0 1 Xi Gi rj 0 rj 1
Pero, por -estabilidad del gaussiano, es en sí un gaussiano con desviación estándar , ¡así que conocemos sus momentos! Por lo tanto, nuestro momento está limitado por (Aproximadamente ); Esto se conoce como la desigualdad de Khintchine. Luego,2 ∑i|ai|Gi ∥a∥2 t ∥a∥t2⋅t!/(2t/2⋅(t/2)!) ∥a∥t2tt/2
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Minc conjeturó y Brégman demostró que si es una matriz 0-1 con 1 en la fila , entonces el permanente de es como máximo Hay una pequeña prueba en el libro de texto de Alon y Spencer, El Método Probabilístico , pero podría decirse que la prueba del "libro" es la prueba de Jaikumar Radhakrishnan usando entropía ( J. Combin. Theory Ser. A 77 (1997), 161-164). No es del todo obvio a partir de la declaración del resultado que el concepto de entropía se encuentra aquí debajo de la superficie.A ri i A
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