Familia Sperner que maximiza los subconjuntos de una partición

Deje que $A$ sea un conjunto de tamaño $k$ y $B$ sea un conjunto de tamaño $\ell$ , para fijo $k$ y $\ell$ , y tal que $A\cap B=\emptyset$ . ¿Cuál es la (o a) familia Sperner $\mathcal{F}$en $A\cup B$ para la cual $\mathcal{F}_B=\{C\cap B ~:~ C\in\mathcal{F}\}$ está maximizada?

De hecho, solo necesito un límite superior para $|\mathcal{F}_B|$(posiblemente algo mejor que $2^\ell$ , que parece estar suelto si $2^k<\ell$ )

Cualquier sugerencia o referencia donde se pueda encontrar este tipo de información o material relevante sería muy apreciada. Gracias.

El límite superior correcto es la suma de los $2^k$ coeficientes binomiales más centrales: o simplemente if 2 ^ k \ geq \ ell + 1 . Los conjuntos \ {B \ cap C \ mid C \ in \ mathcal F \ text {y} A \ cap C = A '\} son antichains. Por la desigualdad LYM, la unión de 2 ^ k antichains no puede ser mayor que la suma de los mayores coeficientes binomiales 2 ^ k . Para lograr el límite, deje A = \ {a_0, \ dots, a_ {k-1} \} , y deje | FB| ≤2ℓ2k≥ℓ+

$$|\mathcal{F}_B|\leq\binom \ell {\lfloor (\ell - 2^k)/2+1\rfloor} + \dots + \binom \ell {\lfloor(\ell + 2^k)/2\rfloor},$$ $|\mathcal{F}_B|\leq 2^\ell$$2^k\geq \ell+1$2 k 2 k A = { a 0 , … , a k - 1 } F = $\{B\cap C\mid C\in\mathcal F\text{ and }A\cap C=A'\}$$2^k$$2^k$$A=\{a_0,\dots,a_{k-1}\}$ $$\mathcal F=\left\{C\subseteq A\cup B \mid \lfloor(\ell + 2^k)/2\rfloor- \sum_{i\colon a_i\in C} 2^i=|C\cap B| \right\}.$$