Tengo un problema algebraico relacionado con vectores en el campo GF (2). Supongamos que sean (0,1) -vectores de dimensión n , ym = n O ( 1 ) . Encuentre un algoritmo de tiempo polinómico que encuentre un vector (0,1) u de la misma dimensión tal que u no sea la suma de ningún vector ( log n ) O ( 1 ) entre v 1 , v 2 , ... , v . La adición de vectores está sobre el campo GF (2), que tiene dos elementos 0 y 1 ( 0 + 1 = 0 + 1 = 1 , y 0 + 0 = 1 + 1 = 0 ).
Es fácil ver la existencia de tal vector u mediante un simple argumento de conteo. Podemos encontrar en un tiempo polinómico? Es trivial para encontrar u en tiempo exponencial. Enviaré un cheque de $ 200 por la primera solución correcta.
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Bin Fu
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Respuestas:
Parece que hay un error tipográfico; Supongo que quiere encontrar que no es la suma de los vectores ( log n ) O ( 1 ) entre v 1 , ... , v m (no n ).u∈{0,1}n (logn)O(1) v1,…,vm n
No me queda claro si alguna constante en funciona para usted. Si puede conformarse con sumas de menos de log m, tal vez haya algo que hacer. Pero si desea que esta cantidad sea ( log m ) 1 + δ , entonces creo que es bastante difícil (he estado trabajando en este problema durante mucho tiempo).(logn)O(1) logm (logm)1+δ
Aún así, puede interesarle saber que esta es una instancia del Problema de punto remoto de Alon, Panigrahy y Yekhanin ("Algoritmos de aproximación deterministas para el problema de palabras de código más cercano") para ciertos parámetros. Dejar que y v 1 , ... , v m ser las columnas de la matriz de comprobación de paridad de un código lineal de { 0 , 1 } m de dimensión d = m - n (si esta matriz no tenía rango completo, el El problema sería trivial). Entonces su problema es equivalente a encontrar u ∈ { 0 ,m>n v1,…,vm {0,1}m d=m−n que es (u∈{0,1}n (logn)O(1) logm d=cm c ω(logm) Ω(m) , mucho menos encontrarlo.
El problema también está relacionado con la separación de EXP de ciertas reducciones a conjuntos dispersos.
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