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EDITAR (por Tara B): Todavía estaría interesado en una referencia a una prueba de esto, ya que tuve que demostrarlo yo mismo para mi propio artículo.

Estoy buscando la prueba del Teorema 4 que aparece en este documento:

Una jerarquía infinita de intersecciones de lenguajes sin contexto por Liu y Weiner.

Teorema 4: Un múltiple afín dimensional no se puede expresar como una unión finita de múltiples afines, cada uno de los cuales tiene una dimensión n - 1 o menor.$n$$n-1$

1. ¿Alguien sabe una referencia a la prueba?
2. Si la variedad es finita y definimos un orden natural en los elementos, ¿hay alguna afirmación similar en términos de redes?

Algunos antecedentes para comprender el teorema:

Definición: Sea el conjunto de números racionales. Un subconjunto M ⊆ Q n es un colector afín si ( λ x + ( 1 - λ ) y ) ∈ M cuando x ∈ M , y ∈ M , y λ ∈ Q .$\mathbb{Q}$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$$x\in M$$y\in M$$\lambda\in\mathbb{Q}$

Definición: Se dice que un múltiple afín es paralelo a un múltiple afín M si M ′ = M + a para alguna a ∈ Q n .$M'$$M$$M'=M+a$$a\in \mathbb{Q}^n$

Teorema: cada múltiple afín no vacío es paralelo a un subespacio K único . Esta K viene dada por K = { x - y : x , y ∈ M $M\subseteq \mathbb{Q}^n$$K$$K$$K=\{x-y:x,y\in M\}$

Definición: La dimensión de un múltiple afín no vacío es la dimensión del subespacio paralelo a él.

Intuitivamente, el teorema dice que una línea no es una unión finita de puntos, un plano no es una unión finita de líneas, etc. La prueba más simple es observar, por ejemplo, que una unión finita de líneas tiene área cero, mientras que un El avión no.

$\mathbb{R}^n$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$A x = b$$\mathbb{R}^n$

$d$$\le d - 1$$d$$d$$d$

$\mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}^n$$|\mathbb{F}|^d$$|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$$\le d - 1$$d$

$\mathbb F$

$n\ge0$$A\subseteq\mathbb F^m$$n$$n$

$n=0$

$n$$n+1$$A=\bigcup_{i<k}A_i$$\dim(A)=n+1$$\dim(A_i)\le n$$B\subset A$$n$$B=\bigcup_i(B\cap A_i)$$\dim(B\cap A_i)=n$$i<k$$B=A_i$$k$$A_i$$B$$A$$n$$B_0$$v$$A$$B_0$$A$$B_0+av$$a\in\mathbb F$