¿Por qué A implica que B es verdadero si A es falso y B es falso?

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Me parece que 'implica' en el idioma inglés no significa lo mismo que el operador lógico 'implica', de manera similar a cómo la palabra 'OR' en la mayoría de los casos significa 'OR exclusivo' en nuestro uso cotidiano del idioma.

Tomemos dos ejemplos:

Si hoy es lunes, mañana es martes.

Esto es cierto .

Pero si decimos:

Si el sol es verde, entonces la hierba es verde.

Esto también se considera cierto. ¿Por qué? ¿Cuál es la 'lógica' en inglés natural detrás de esto? Me deja boquiabierto.

yoyo_fun
fuente
10
Porque la implicación se trata de preservar la verdad . Si es falso, no hay verdad que preservar. UNA
Rodrigo de Azevedo
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La lógica booleana no tiene nada que ver con el idioma inglés.
Yuval Filmus
8
Ya cubierto en Math Stack Exchange en este hilo y otros relacionados: math.stackexchange.com/questions/48161/…
Nayuki el
8
Esta toma de Philosophy Stack Exchange sobre la pregunta también es relevante: ¿por qué los condicionales con antecedentes falsos se consideran verdaderos?
duplode
2
@ MHH ah, cierto. "Si x> 5, entonces x> 3" no es verdadero vacío, "si 2> 5 entonces 2> 3" es una implicación verdadera (premisa falsa) pero no vacío porque no hay un conjunto vacío involucrado.
eques

Respuestas:

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Los humanos son malos con la lógica hasta que tienen que emplearla para resolver los asuntos humanos. Piense en " si entonces BAB " como una especie de promesa: "Te prometo que si haces , haré B ". Tal promesa dice nada acerca de lo que podría hacer si usted no puede hacer una . De hecho, podría hacer B de todos modos, y eso noABAsi me haría mentiroso.

Por ejemplo, supongamos que tu madre te dice:

Si limpias tu habitación, haré panqueques.

Y déjenos decir que no limpió su habitación, pero cuando entró a la cocina su mamá estaba haciendo panqueques. Pregúntate si esto hace que tu madre sea una mentirosa. ¡No es asi! Sería una mentirosa solo si limpiabas la habitación pero se negaba a hacer panqueques. Puede haber otras razones por las que decidió hacer panqueques (tal vez su hermana limpió su habitación). Tu mamá no te dijo "Si no limpias la habitación, no haré panqueques", ¿verdad?

Entonces si digo

"Si el sol es verde, entonces la hierba es verde".

eso no me hace mentiroso. El sol no es verde (no limpiaste la habitación), pero el pasto resultó ser verde de todos modos (pero tu mamá hizo panqueques de todos modos).

Andrej Bauer
fuente
No te haría un mentiroso, pero tampoco te haría un narrador de la verdad. ¿Por qué no dices la verdad sincera, que es puramente una convención? Todos en el planeta parecen tener miedo de decirlo (excepto el usuario que publicó la otra respuesta en esta página) ...
Mehrdad
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¿A qué se refiere cuando dice " es puramente una convención"? ¿El significado de implicación? Claro, pero te equivocas cuando dices que es puramente una convención, como si el significado de la implicación fuera una especie de basura arbitraria que se le ocurrió a un burócrata. Las convenciones (si quieres llamarlas así) en matemáticas están ahí por una buena razón. Son útiles y ayudan a explicar las cosas. Están lejos de ser arbitrarios, por lo que es intelectualmente deshonesto tomar la posición de que "todo es simplemente una convención". Te hace un troll.
Andrej Bauer el
La respiración es simplemente una convención. ;-)
jpaugh
2
<span style = "voice: samuel-jackson"> ¿Crees que es aire lo que estás respirando? </span>
Andrej Bauer el
2
@AndrejBauer - ... eh, creo que te refieres a style="voice: laurence-fishburne"...
Mark Rogers el
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Es una convención: podríamos usar una diferente, pero esta es conveniente. Esto es lo que dice Terence Tao :

Esto se discute en el Apéndice A.2 de mi libro [Análisis 1]. La noción de implicación utilizada en matemáticas es la de implicación material, que en particular asigna un valor verdadero a cualquier implicación vacía. Por supuesto, se podría usar una convención diferente para la noción de implicación, sin embargo, la implicación material es muy útil con el fin de probar teoremas matemáticos, ya que permite utilizar implicaciones como "si A, entonces B" sin tener que verificar primero si A es cierto o no. La implicación material también obedece a una serie de propiedades útiles, como la especialización: si, por ejemplo, se sabe por cada x que P (x) implica Q (x), entonces se puede especializar esto a un valor específico de x, diga 3 y concluya que P (3) implica Q (3). Sin embargo, tenga en cuenta que al hacerlo, una implicación no vacía puede convertirse en una implicación vacía. Por ejemplo, sabemos que implica x 225 para cualquier número real x ; especializándolo al número real 3, obtenemos la implicación vacía de que 3 5 implica 3 225 .x5x225x353225

La forma en que me gusta pensar en la implicación material es la siguiente: la afirmación de que A implica B es solo decir que "B es al menos tan cierto como A". En particular, si A es verdadero, entonces B tiene que ser verdadero también; pero si A es falso, entonces la implicación material permite que B sea verdadero o falso, por lo que la implicación es verdadera sin importar cuál sea el valor de verdad de B.

Hatshepsut
fuente
Esa afirmación suena bien hasta que te das cuenta de que la intuición que está invocando en realidad no es cierta. Piensa en algo como "Si los extraterrestres deambulan por la Tierra, entonces soy un extraterrestre" ... estaría mucho más inclinado a creer que los extraterrestres deambulan por la Tierra que yo mismo soy un extraterrestre ...
Mehrdad
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"Si los extraterrestres deambulan por la Tierra, entonces soy un extraterrestre" no es una verdadera implicación; es decir, q no se sigue de p ordinariamente. Eso es distinto de si p es falso, la implicación es verdadera
eques
@Mehrdad, ¿no debería ser "si soy un extraterrestre, entonces los extraterrestres deambulan por la Tierra"?
Paŭlo Ebermann
@eques: "Si sale el sol mañana, entonces me levantaré por la mañana" ... apuesto a que si el sol no sale mañana, todavía me levantaría por la mañana (salvo otros efectos de la desaparición del sol ) Pero la gente dice cosas así de todos modos.
Mehrdad
La gente de @Mehrdad dice cosas que no son lógicamente rigurosas todo el tiempo; eso no significa que las reglas de la lógica no sean buenas. Y si alguien todavía se levanta por la mañana a pesar de que el sol no salió, no contrarrestaron su implicación. La implicación sigue siendo cierta
eques
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"A implica B" significa (corto) "si A es verdadero, entonces B es verdadero".

Significa (un poco más) "si A es verdadero, entonces afirmo que B es verdadero; si A es falso, entonces no hago ningún reclamo sobre B".

Ahora tome "Si el sol es verde, entonces la hierba es verde".

En la forma larga se traduce como "Si el sol es verde, entonces afirmo que la hierba es verde; si el sol no es verde, entonces no pretendo el color de la hierba". El sol no es verde, así que no pretendo el color de la hierba.

gnasher729
fuente
Entonces, si no hace ningún reclamo con respecto al césped, eso significa que todo es cierto para el césped ... pero, ¿cómo es esto equivalente a "No hago ningún reclamo hacia el césped"?
yoyo_fun
¿Se puede modelar el operador lógico 'implicar' usando conjuntos como el resto de los operadores?
yoyo_fun
1
@yoyo_fun es equivalente a ¬ A B y puedes modelarlo igual. UNAsi¬UNAsi
hobbs
1
@yoyo_fun No hacer ningún reclamo sobre la hierba no significa que todo sea malo. la hierba es verdad! (La hierba está viva; la hierba está muerta no puede ser verdad). En contexto, lo que significa es: "Si el sol no es verde, entonces la declaración original no nos da información sobre la hierba".
jpaugh
6

Pongamos un ejemplo. Supongamos que queremos expresar que es el único elemento del conjunto S que satisface la propiedad P . Entonces podemos escribir x SaSP Esto indica que cualquier elemento de x que satisfaga P debe ser igual a a . No pretende nada acerca de los elementos que no correspondan a P . Si b no satisface a P y es diferente de a, entonces P ( b ) es falso y b = a es falso, entonces P ( b ) b = a es verdadero, tal como en su ejemplo.

xSP(x)x=a
xPaPbPaP(b)b=aP(b)b=a
Yuval Filmus
fuente
3
Esta creo que es la mejor respuesta. Como ejemplo: la afirmación "si un animal es un gato, entonces es un mamífero" es cierta a pesar de que hay animales que son mamíferos pero no gatos, y animales que no son ni gatos ni mamíferos.
jadhachem
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Es importante tener en cuenta que muchas formas de lógica no tienen un concepto de cronología o causalidad. Si algo es cierto, entonces, dentro de su contexto, lo ha sido y seguirá siendo cierto para siempre. Decir que X implica Y no significa en ningún sentido que X hará que Y sea cierto. Simplemente significa que X no puede ser verdadero sin que Y también sea verdadero, e Y no puede ser falso sin que X también sea falso.

Describir de manera útil las relaciones causales en el mundo real requiere algo más allá de las construcciones utilizadas en la lógica "atemporal". Un concepto como "Para cualquier acción Y tal que X haga que Y sea razonable, Y se considerará razonable" puede ser útil en un universo causal incluso si X pudiera ser falso, pero el operador de implicación explota completamente en tales casos. Si uno dijera "X implica que Y se considerará razonable" y resultó que X nunca fue cierto, eso implicaría que todas las acciones se considerarán razonables.

No estoy seguro de qué formas de lógica incluyen los constructos necesarios para permitir enunciados que involucren causalidad unidireccional, pero reconocer que la definición lógica de "implica" no reconoce los conceptos de tiempo y causalidad debería facilitar la comprensión de por qué se comportan en forma contra-intuitiva.

Super gato
fuente
1

Al usar Implication In English no se trata de las cosas u objetos que consideramos.

sungreengrassgreen .

El sol es solo un objeto aquí, no le hagas ningún vínculo emocional, ya que un sol no puede ser verde.

SGGG . Ahora vea la oración Si la S es G, entonces GG es G.

> {GG-> G}}

Esto parece menos confuso que escribir en inglés.

iambruv
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¿Qué tiene que ver el "apego emocional" con algo? ¿Y cómo la ortografía de los objetos ha respondido de manera diferente a la pregunta?
Lightness compite con Monica el
@LightnessRacesinOrbit Es solo para algunos estudiantes que ven las cosas emocionalmente en lugar de estar orientados a la lógica. Y lo siento, ¿qué ortografía está equivocada?
iambruv
No dije que tu ortografía fuera errónea. Me pregunto por qué respetar el "sol" como el S"verde" como el G"pasto" como GGalgo cambia en absoluto.
Lightness compite con Monica el
@LightnessRacesinOrbit Oh, es solo para convencer, nada más. A veces nos confundimos cuando las oraciones se dan como si algunos bolígrafos fueran lápiz, todos los lápices son loros, ningún loro es un pájaro. Por lo tanto, prefiero usar este tipo de símbolo para que mi mente deje de visualizar cómo se relacionan todos los lápices con el hecho de ser pájaro, ya que son solo objetos que no tienen importancia con el lápiz o el pájaro.
iambruv
Sí, todavía no veo cómo eso responde la pregunta, pero está bien
Lightness compite con Mónica el
-1

Para poner su cabeza en el lugar correcto para mi respuesta, quiero mencionar lo que me gusta llamar el Teorema de los Monos Voladores, o lo que Wikipedia le gusta llamar el Principio de Explosión , que establece:

(pags¬pags)q

2+2=4 4 y 2+2=5 5 luego 4 4=5 5, Lo que significa que 0 0=1o podría significar que dieciséis=25, etc., y básicamente puede generar cualquier igualdad que desee. Es por eso que hay tantos trucos que resultan en1=0 0 o 1=-1al abusar de una división oculta por cero , porque no puedes dividir por cero para que puedas hacer realidad lo que quieras.


Una vez que estamos en este reino donde sabemos pagses falso, ya no estamos en la realidad. Estamos en una dimensión alternativa donde el Babel Fish es real, el negro es blanco y ten cuidado con el paso de cebra. Entonces, dado que ya no estamos en realidad, por supuesto, la afirmación podría ser cierta. Específicamente, puedo usar lo falso que supongo para probar lo que quiera. Asi que por su puestoFT y FF son ambas afirmaciones verdaderas.

durron597
fuente
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No compro este argumento. Estás diciendo eso, escribiendoPAGSQ donde sabemos PAGS para ser falso, estamos hablando de una realidad alternativa donde Q Podría ser cierto. Si ese es el caso, ¿por qué entonces asumes queQ ¿Es cierto en esa realidad alternativa? Eso parece filosóficamente insatisfactorio. Además, toda la configuración de "realidad alternativa" contradice por completo la semántica formal de la lógica: la verdad o la falsedad de una fórmula en un modelo particular se determina con respecto a ese modelo , no con respecto a otro modelo que el lector sueña.
David Richerby
@DavidRicherby deja r=¬q. Claramente(pags¬pags)q es tan válido como (pags¬pags)r. From falsehood, anything follows, including another contradiction.
durron597