Una pregunta reciente del examen fue la siguiente:
- es un conjunto infinito recursivamente enumerable. Demuestre que tiene un subconjunto recursivo infinito.
- Deje que sea un subconjunto infinito de recursiva . ¿Debe tener un subconjunto que no es recursivamente enumerable?A C
Respondí 1. ya. Con respecto a 2., respondí afirmativamente y discutí lo siguiente.
Supongamos que todos los subconjuntos de fueran recursivamente enumerables. Como es infinito, el conjunto de potencias de es incontable, por lo que suponiendo que haya incontables muchos conjuntos recursivamente enumerables. Pero los conjuntos recursivamente enumerables están en correspondencia uno a uno con las máquinas de Turing que los reconocen, y las máquinas de Turing son enumerables. Contradicción. Por lo tanto, debe tener un subconjunto que no sea recursivamente enumerable.C C C
¿Es esto correcto?
computability
check-my-proof
usuario1435
fuente
fuente
Respuestas:
Es correcto.
Cada conjunto infinito tiene un subconjunto indecidible, puede utilizar el argumento de cardinalidad: . De hecho, la mayoría de sus subconjuntos son indecidibles (y puede reemplazarlo por cualquier clase contable de lenguajes, egce, aritmético , analítico , ...).ℵ0≤C⟹ℵ0<2C
Lo malo de este argumento es que no proporciona ninguna información sobre la dificultad del subconjunto. Por lo general, queremos un subconjunto que sea lo más fácil posible. Una forma de obtener esto es usando una diagonalización similar al argumento de cardinalidad usando el hecho de que es decidible:C
Definir , donde es el º conjunto ce. Obviamente . Además, puede resolverse con un oráculo para y . Entonces, si es decidible, entonces es un lenguaje común.W i i D ⊆ C D C K = { i ∣ i ∉ W i } C DD={i∈C∣i∉Wi} Wi i D⊆C D C K={i∣i∉Wi} C D
fuente