Cálculo de la función de castor ocupado

La función de desplazamiento máximo del castor ocupado, , tiene valores conocidos para . ¿Hay alguna razón estructural básica por la que es inconcebible que alguna vez encontremos para ? ¿Qué tiene de diferente que ? O ? En algún punto del camino debe haber alguna diferencia fundamental, de lo contrario sería, en principio, computable para todo , entonces, ¿qué es exactamente $S(n)$ $n\leq4$ $S(n)$ $n>4$ $n=4$ $n=5$ $n=6$ $S(n)$ $n$ ¿Es esta la diferencia?

computability busy-beaver PeteyPabPro
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Respuestas:

La razón por la que ningún programa puede calcular es que si supiera qué es , podría decidir el problema de detención: sabría cuándo dejar de esperar. Por otro lado, para cada hay un programa que calcula para todos los , solo usa una tabla. $S(n)$ $S(n)$ $m$ $S(n)$ $n \leq m$

Si fuera posible probar el valor de para todos los (es decir, para todos los podríamos probar para algunos ), entonces podríamos calcular buscando en todas las pruebas ( esto supone que nuestro sistema de prueba es válido). Entonces, para cada sistema de prueba hay un valor mínimo de para el que no puede probar que para cualquier . $S(n)$ $n$ $n$ $S(n) = \alpha$ $\alpha$ $S(n)$ $n$ $S(n) = \alpha$ $\alpha$

Finalmente, la razón por la que conocemos es probablemente porque es un número realmente pequeño. El número es un poco más grande, por lo que las cosas se vuelven más complicadas. No hay una razón profunda por la que sepamos pero no , al igual que no hay una razón profunda por la que sepamos el número de Ramsey pero no (aunque los números de Ramsey son, por supuesto, computables) . $S(4)$ $4$ $5$ $S(4)$ $S(5)$ $R(4)$ $R(5)$

Yuval Filmus
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Gracias. El párrafo central era esencialmente lo que me preguntaba (y es una prueba de Godel, ¿correcto?). Entonces, en realidad podría ser que

tiene una prueba en nuestro sistema formal, pero

no la tiene.

S (4)

$S(4)$

S (5)

$S(5)$

PeteyPabPro

Presumiblemente. Si

no es demostrable pero es cierto que

tampoco es demostrable, por lo que tenemos una afirmación que no se puede probar ni refutar.

S (n) = " S (n) "

$S(n)=\text{"}S(n)\text{"}$

S (n) \neq " S (n) "

$S(n)\neq\text{"}S(n)\text{"}$

Yuval Filmus

Todavía no ha explicado realmente por qué podemos estar tan seguros de que S (4) es correcto, mientras que S (5) o superior nunca podemos saberlo. ¿Es porque no estamos 100% acerca de S (4), sino que estamos "casi casi" seguros?

Dan W

Estamos 100% seguros de S (4). No creo que haya ninguna razón profunda detrás de nuestra ignorancia con respecto a S (5). Es solo el límite actual de nuestro conocimiento.

Yuval Filmus

Creo que hay un sistema de prueba realmente fuerte y una máquina de turing de color de 6 estados y 2, de modo que se puede probar que no hay prueba en ese sistema de que nunca se detendrá y no se detendrá antes de cualquier algoritmo que pueda probarse en ese sistema dentro de un googol personajes para detener finalmente.

Timothy

Scott Aaronson discute esto aquí . Él y su coautor encuentran un límite superior explícito en para el que se puede calcular . $n$ $S(n)$

PeteyPabPro
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¿Podría citar una parte relevante?

Mal

otro ángulo, con un bosquejo informal de una respuesta, que llevaría mucho tiempo desarrollar técnicamente con más investigación (es decir, es básicamente un programa de investigación): hay alguna evidencia preliminar de que el límite de lo que es computable acerca del Busy Beaver La función es una medida de la complejidad del algoritmo, con dos referencias debajo de esa pista en esta dirección. [1] [2] aproximadamente, las TM pequeñas con muy pocos estados no pueden lograr "tanto" o "comportamiento tan sofisticado" como algoritmos más complejos con más estados. por lo tanto, el cálculo parece tener también un vínculo profundo con la complejidad de Kolmogorov . [3] otra forma de ver esto es que lo que se sabe / computable sobre la función Busy Beaver también coincide estrechamente con el estado de la técnica en teorema automatizado prueba, que (similar al avance tecnológico) es una frontera que avanza continuamente basada en la investigación matemática y de la informática.

[1] Problema de castor ocupado, un nuevo ataque de milenio , van Heuveln et al.

[2] Pequeñas máquinas de Turing y competencia generalizada de castores ocupados , Michel

[3] En tiempo de ejecución de los problemas más cortos , Batfai

vzn
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