Es el idioma

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Es el idioma L={0n1mn and m are co-prime} sin contexto?

Supongo que no está libre de contexto porque parece demasiado complicado para que un PDA decida si 2 números son primos o no.

Traté de usar el lema de bombeo en vano.

Cualquier ayuda será agradecida.

Editar:

Aquí está uno de mis intentos fallidos con el lema de bombeo:

Dejar Nser una constante Toma un primerp tal que p>N! y luego toma la palabra z=0p1p+N!L. Dejarz=uvwxy ser una descomposición de z satisfaciendo las condiciones en el lema de bombeo.

Si vx contiene solo ceros entonces |vx|=k es un entero entre 1 y N. Definirm como m=N!/k. pori=m+1 la palabra uviwxiy=0p+N!1p+N!L

Sin embargo, no he podido encontrar tal número entero i para los otros casos de descomposición.

Robert777
fuente
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Bienvenido a la informática ! Permítame dirigirlo hacia nuestras preguntas de referencia que pueden cubrir su problema. Revise las preguntas relacionadas enumeradas allí, intente resolver su problema nuevamente y edite para incluir sus intentos junto con los problemas específicos que encontró. Creo que el teorema de Parikh podría funcionar para ti.
Raphael
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Parikh debería funcionar, pero también bombeo estándar / Ogden, ¿verdad?
Ran G.
En realidad es una pregunta de prueba. Como no hemos aprendido el teorema de Parikh, probablemente haya una manera de demostrar que no está libre de contexto con el lema de bombeo o con las propiedades de cierre.
Robert777
@Raphael, en este caso el teorema de Parikh realmente no agrega nada más allá del lema de bombeo directo (es decir, de 0n1m puede obtener todo 0n+ka1m+kb para algunos a, b no tanto cero como k1) Pero no veo ninguna forma de forzargcd(n+ka,m+kb)1.
vonbrand
@vonbrand Podemos trabajar en L¯L(01)en lugar; ver aquí .
Raphael

Respuestas:

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Ridículo que no vi esto antes ...

La prueba de que el idioma (llámalo L) no está libre de contexto es por contradicción. AsumirL no tiene contexto, por el lema de bombeo para CFGs hay una constante N tal que cada cuerda σL tal que |σ|N puede ser escrito σ=uvxyz con vyϵ tal que para todos k0 la cuerda uvkxykzL. Tomarm,n diferentes números primos (de modo que gcd(m,n)=1) y m,n>2N, y tomar σ=0m1n. La cadena bombeada será0m+ka1n+kb para algunas constantes a, b, no ambos cero, y tal que a<m y b<n (tenemos a,bN<m/2,n/2 por cierto m, nfueron seleccionados). El caso de uno de ellos cero fue cubierto por OP, así que considerea,b0. Ahora:

m+ka0(modn)n+kb0(modm)

Esto tiene una solución única. k módulo mn por el teorema del resto chino (tenemos a<n, y como n es primo gcd(a,n)=1; similarb y m), y así podemos escribir:

m+ka0(modmn)n+kb0(modmn)
es decir, mngcd(m+ka,n+kb). Contradicción.
vonbrand
fuente
Gracias por su respuesta. Me gustó la forma en que abordaste esto. Sin embargo, no entiendo cómo usó el teorema del resto chino si esto solo se puede aplicar en un sistema de congruencias lineales de la forma:
xb1(modm1)xb2(modm2)
Robert777
@ Robert777, solo escribe kam(modn)y así.
vonbrand
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pero obtienes una congruencia de la forma:
axb(modm)
Y no es lo mismo. Por ejemplo sigcd(a,m)|bentonces la congruencia no tiene soluciones.
Robert777
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@ Robert777, tienes toda la razón. Cambiado para seleccionarm, nprincipal. ¡Gracias!
vonbrand
Bien, después de haber usado el teorema del resto chino, ¿por qué podemos escribir estas congruencias?
m+ka0(modmn)n+kb0(modmn)
Robert777