¿Qué son las transformaciones afines?

¿Qué son las transformaciones afines? ¿Se aplican solo a puntos o a otras formas también? ¿Qué significa que pueden ser "compuestos"?

Una transformación afín es una transformación lineal + un vector de traducción.

$$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$$

Se puede aplicar a puntos individuales, a líneas o incluso a curvas de Bezier. Para las líneas, conserva la propiedad de que las líneas paralelas permanecen paralelas. Para las curvas de Bezier, conserva la propiedad de casco convexo de los puntos de control.

Multiplicado, produce 2 ecuaciones para producir un par de coordenadas "transformadas" $(x', y')$ del par original $(x, y)$ y una lista de constantes $(a, b, c, d, e, f)$ .

$$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$$

Convenientemente, la transformación lineal y el vector de traducción se pueden juntar en una matriz 3D que puede operar sobre coordenadas 2D homogéneas.

$$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$$

Lo que produce las mismas 2 ecuaciones anteriores.

Muy convenientemente , las matrices mismas se pueden multiplicar juntas para producir una tercera matriz (de constantes) que realiza la misma transformación que las 2 originales en secuencia. En pocas palabras, las multiplicaciones de la matriz son asociativas.

$$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$$

Alternativamente, puede considerar algunos tipos de transformación básicos y componer cualquier transformación más compleja combinando estos (multiplicándolos juntos).

Transformación de identidad

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Escalada

$$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

* Nota: se puede realizar una reflexión con parámetros de escala o .$(S_x, S_y) = (-1,1)$$(1,-1)$

Traducción

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$$

Inclinar x por y

$$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Inclinar y por x

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Rotación

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

[Tenga en cuenta que he mostrado la forma de Matrix aquí que acepta un vector de fila a la izquierda . La transposición de estas matrices funcionará con un vector de columna a la derecha.]

Una matriz compuesta exclusivamente de escala, rotación y traslación puede descomponerse nuevamente en estos tres componentes .