Escribir un programa o función que dado positivo n y m calcula el número de mosaicos dominó distintas válidas que puede caber en un n por m rectángulo. Esta es la secuencia A099390 en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras . Puede tomar la entrada como argumento (s) de función, CLA o en stdin, en cualquier formato razonable. Debe devolver o imprimir un entero entero como salida.

Cada mosaico no debe dejar espacios, y se cuenta cada mosaico distinto, incluidas las rotaciones, reflexiones, etc. Por ejemplo, las inclinaciones para 2x3 son:

|--    |||    --| 
|--    |||    --|

Ejemplo de entradas / salidas:

1,  9 -> 0
2,  2 -> 2
2,  3 -> 3
4,  4 -> 36
4,  6 -> 281
6,  6 -> 6728
7, 10 -> 53175517

Su programa debe trabajar en teoría, para cualquier n y m , pero si su programa requiere demasiada memoria o el tipo de datos se desborda excusado. Sin embargo, su programa debe funcionar correctamente para cualquier n, m <= 8.

El código más corto en bytes gana.

Pyth, 30 29 bytes

L?bsmy-tb]dfq1.a-VThbb1y*FUMQ

Pruébelo en línea: Demonstration / Test Suite

Todas las entradas de ejemplo se ejecutan en el compilador en línea. Sin embargo, el último tarda unos segundos.

Explicación:

En mi código definiré una función recursiva y. La función ytoma una lista de coordenadas 2D y devuelve el número de diferentes inclinaciones de dominó utilizando estas coordenadas. Por ejemplo y([[0,0], [0,1]]) = 1(un dominó horizontal), y([[0,0], [1,1]]) = 0(las coordenadas no son adyacentes) y y([[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]]) = 2(dos dominós horizontales o dos verticales). Después de definir la función, la llamaré con todas las coordenadas [x,y]con x in [0, 1, m-1], y in [0, 1, n-1].

¿Cómo funciona la función recursiva? Es bastante simple. Si la lista de coordenadas está vacía, hay exactamente un mosaico válido y yretornos 1.

De lo contrario, tomo la primera coordenada de la lista b[0]y busco las coordenadas restantes para un vecino. Si no hay ningún vecino b[0], entonces no es posible el mosaico, por lo tanto, devuelvo 0. Si hay uno o más vecinos, entonces el número de inclinaciones es (el número de inclinaciones donde me conecto b[0]con el primer vecino a través de una domina, más el número de inclinaciones donde me conecto b[0]con el segundo vecino, más ...) Entonces llamo a la función de forma recursiva para cada vecino con la lista acortada (eliminando las dos coordenadas b[0]y el vecino). Después, resumo todos los resultados y los devuelvo.

Debido al orden de los cables, siempre hay dos vecinos posibles, el del lado derecho y el de abajo. Pero mi algoritmo no se preocupa por eso.

                          UMQ  convert the input numbers into ranges
                        *F     Cartesian product (coords of each square)
L                              define a function y(b):
 ?b                              if len(b) > 0:
           f         b             filter b for squares T, which satisfy:
              .a-VThb                Euclidean distance between T and b[0]
            q1                       is equal to 1 (direct neighbors)
    m                              map each neighbor d to:
      -tb]d                          remove d from b[1]
     y                               and call recursively y with the rest
   s                               sum all those values and return them
                                 else:
                      1            return 1 (valid domino tiling found)
                       y*FUMQ  Call y with all coords and print the result  

Matlab, 292

Estoy seguro de que esto se puede acortar mucho simplemente portándolo a otro idioma.

La idea básica es la fuerza bruta: se me ocurrió una especie de enumeración de todas las formas de colocar m*n/2ladrillos de dominó en un m*ntablero. Pero esta enumeración también incluye muchas inclinaciones no válidas (ladrillos que se superponen o salen del tablero). Por lo tanto, el programa construye todas esas inclinaciones y solo cuenta las válidas. Se trata de la complejidad del tiempo de ejecución O(2^(m*n/2) * m*n). La memoria no es un problema 8x8ya que solo necesita O(m*n)memoria. Pero el tiempo necesario 8x8es de unos 20 días.

Aquí la versión completamente comentada que explica lo que está sucediendo.

PD: Si alguien sabe cómo hacer que el resaltado de sintaxis de Matlab funcione, ¡incluya la etiqueta correspondiente en esta respuesta!

function C=f(m,n)
d = ceil(m*n/2);%number of dominoes
%enumeration: %the nth bit in the enumeration says whether the nth 
% domino pice is upright or not. we enumerate like this:
% firt piece goes top left:
% next piece goes to the left most column that has an empty spot, in the
% top most empty spot of that column
C=0;%counter of all valid tilings
for e=0:2^d-1 %go throu all enumerations
    %check whether each enumeration is valid
    A = ones(m,n);
    %empty spots are filled with 1
    %filled spots are 0 (or if overlapping <0) 
    v=1;%flag for the validity. hte grid is assumed to be valid until proven otherwise
    for i=1:d %go throu all pieces, place them in A
        %find the column where to place:
        c=find(sum(A)>0,1);
        %find the row where to place:
        r=find(A(:,c)>0,1);
        %find direction of piece:
        b=de2bi(e,d);
        if b(i)
            x=0;y=1;
        else
            x=1;y=0;
        end
        %fill in the piece:
        try
            A(r:r+y,c:c+x)=A(r:r+y,c:c+x)-1;
        catch z
            v=0;break;
        end
        %check whether A has no overlapping pieces
        if any(A(:)<0)
            v=0;break;
        end
    end
    %if valid, count it as valid
    if v && ~norm(A(:))
        disp(A)
        C=C+1;
    end
end

Aquí el totalmente golfizado:

function C=f(m,n);m=4;n=6;d=ceil(m*n/2);C=0;for e=0:2^d-1;A=ones(m,n);v=1;for i=1:d;c=find(sum(A)>0,1);r=find(A(:,c)>0,1);b=de2bi(e,d);if b(i);x=0;y=1;else;x=1;y=0;end;try;A(r:r+y,c:c+x)=A(r:r+y,c:c+x)-1;catch z;v=0;break;end;if any(A(:)<0);v=0;break;end;end;if v && ~norm(A(:));C=C+1;end;end

C89, 230 bytes

f(n,m,b)int*b;{int s,i;s=i=0;
while(b[i])if(++i==n*m)return 1;
if(i/n<m-1){b[i]=b[i+n]=1;s+=f(n,m,b);b[i]=b[i+n]=0;}
if(i%n<n-1&&!(b[i]|b[i+1])){b[i]=b[i+1]=1;s+=f(n,m,b);b[i]=b[i+1]=0;}
return s;}
g(n,m){int b[99]={};return f(n,m,b);}

Para facilitar la lectura, escribí esta respuesta a mano: todas las líneas nuevas se pueden eliminar de forma segura para llegar a 230 bytes.

Define una función int g(int n, int m)que devuelve el número de inclinaciones. Utiliza una función auxiliar fque itera sobre todas las inclinaciones válidas colocando un dominó, recurriendo y luego eliminando el dominó en un tablero compartido.

Python 243

Opté por un enfoque de fuerza bruta:

• generar m * n / 2 direcciones;
• intente colocar el dominó en el tablero m * n.

Si todos encajan y no quedan espacios, tenemos una entrada válida.

Aquí está el código:

import itertools as t
m,n=input()
c,u=0,m*n
for a in t.product([0,1],repeat=u/2):
 l,k,r,h=[' ',]*u,0,'-|',[1,m]
 for t in a:
  l[k]=r[t]
  k+=h[t]   
  if k%m<m and k/m<n and l[k]==' ':l[k]=r[t]
  k=''.join(l).find(' ',1)
 if k<0:c+=1
print c