Esta es una pregunta de secuencia del tipo habitual, como se aplica a la secuencia OEIS A038666 . Es decir, realice una de las siguientes acciones:

• No acepte ninguna entrada o ninguna, y envíe A038666 hasta la muerte por calor del universo.
• Aceptar un número entero positivo como entrada, y la salida de la º plazo de A038666 o sus primeros términos. (Si se utiliza - en lugar de -indexing, entonces por supuesto que también tiene a la salida de entrada.)$n$$n$$0$$1$10

El º período de A038666 es la menor área entre los rectángulos que contienen los cuadrados no superpuestas de tamaños si estás usando -indexing.$n$$1\times1,2\times2,\dots n\times n$$1$

Ejemplo:

El rectángulo de área más pequeña que puede contener cuadrados no superpuestos de tamaños a tiene dimensiones :$1\times1$$4\times4$$7\times5$

4 4 4 4 3 3 3
4 4 4 4 3 3 3
4 4 4 4 3 3 3
4 4 4 4 2 2 1
x x x x 2 2 x

Por lo tanto, ( -indexado).$a(4)=7\times5=35$$1$

Del mismo modo, el rectángulo de área mínima que contiene cuadrados no superpuestos de tamaños a tiene dimensiones , por lo que ( -indexado).$1\times1$$17\times17$ $39\times46$$a(17)=39\times46=1794$$1$

JavaScript (ES6), 172 bytes

Sugerencia de versión más lenta pero más corta sugerida por @JonathanAllan (también guarda 4 bytes en la respuesta original):

f=(n,A,S=(n,c)=>n>=0?c(n)||S(n-1,c):0)=>S(A,w=>(F=(l,n)=>n?S(w-n,x=>S(A/w-n,y=>l.some(([X,Y,W])=>X<x+n&X+W>x&Y<y+n&Y+W>y)?0:F([...l,[x,y,n]],n-1))):A%w<1)([],n))?A:f(n,-~A)

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Respuesta original,  209183178174  bytes

Devuelve el $N$ ^º término de la secuencia, 1-indexados.

f=(n,A,S=(n,c)=>n>=0?c(n)||S(n-1,c):0)=>S(A,w=>A%w?0:(F=(l,n)=>n?S(w-n,x=>S(A/w-n,y=>l.some(([X,Y,W])=>X<x+n&X+W>x&Y<y+n&Y+W>y)?0:F([...l,[x,y,n]],n-1))):1)([],n))?A:f(n,-~A)

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Comentado

Función auxiliar

Primero definimos una función auxiliar $S$ que invoca una función de devolución de llamada $c$ para $n$ a $0$ (ambos incluidos) y se detiene tan pronto como una llamada devuelve un valor verdadero.

S = (n, c) =>               // n = integer, c = callback function
  n >= 0 ?                  // if n is greater than or equal to 0:
    c(n) ||                 //   invoke c with n; stop if it's truthy
    S(n - 1, c)             //   or go on with n - 1 if it's falsy
  :                         // else:
    0                       //   stop recursion and return 0

Función principal

Comenzamos con $A=1$ .

Para cada par $(w,h)$ tal que $w\times h = A$ , intentamos insertar todos los cuadrados de tamaño $1\times1$ a $n\times n$ (en realidad comenzando con el más grande) en el área correspondiente, de tal manera que No se superpongan entre sí.

Llevamos un registro de la lista de cuadrados con su posición $(X,Y)$ y su ancho $W$ en $l[\text{ }]$ .

O devolvemos $A$ si se encontró un acuerdo válido, o lo intentamos nuevamente con $A+1$ .

f = ( n,                    // n = input
      A ) =>                // A = candidate area (initially undefined)
S(A, w =>                   // for w = A to w = 0:
  A % w ?                   //   if w is not a divisor of A:
    0                       //     do nothing
  : (                       //   else:
    F = (l, n) =>           //     F = recursive function taking a list l[] and a size n
      n ?                   //       if n is not equal to 0:
        S(w - n, x =>       //         for x = w - n to x = 0
          S(A / w - n, y => //           for y = A / w - n to y = 0:
            l.some(         //             for each square in l[]
            ([X, Y, W]) =>  //             located at (X, Y) and of width W:
              X < x + n &   //               test whether this square is overlapping
              X + W > x &   //               with the new square of width n that we're
              Y < y + n &   //               trying to insert at (x, y)
              Y + W > y     //
            ) ?             //             if some existing square does overlap:
              0             //               abort
            :               //             else:
              F([ ...l,     //               recursive call to F:
                  [x, y, n] //                 append the new square to l[]
                ],          //
                n - 1       //                 and decrement n
              )             //               end of recursive call
          )                 //           end of iteration over y
        )                   //         end of iteration over x
      :                     //       else (n = 0):
        1                   //         success: stop recursion and return 1
    )([], n)                //     initial call to F with an empty list of squares
) ?                         // end of iteration over w; if it was successful:
  A                         //   return A
:                           // else:
  f(n, -~A)                 //   try again with A + 1

Python 2 (PyPy) , 250 236 bytes

-14 bytes gracias a las sugerencias de msh210 .

Emite el enésimo término indexado 1 de la secuencia.

n=input()
r=range
k=n*-~n*(n-~n)/6
m=k*k
for Q in r(m):
 P={0}
 for X in r(n,0,-1):P|=([x for x in[{(x+a,y+b)for a in r(X)for b in r(X)}for x in r(Q%k-X+1)for y in r(Q/k-X+1)]if not x&P]+[{0}])[0]
 if len(P)>k:m=min(Q%k*(Q/k),m)
print m

Pruébalo en línea! Para n> 4, esto lleva mucho tiempo. He verificado el resultado hasta n = 7 localmente.