Python 3 , 113 62 bytes

for i in[1]*3:x|={a+b for a in x for b in x}
while{i+1}&x:i+=1

Aquí xestá la entrada como un conjunto de entradas y ies la salida.

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(Gracias: Erik the Outgolfer, Sr. Xcoder, Lynn)

Jalea , 12 bytes

œċⱮ8Ẏ§ṢQJƑƤS

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Toma un promedio de ~ 3.7 segundos para ejecutar todos los casos de prueba en TIO en mi teléfono, por lo que sorprendentemente es bastante rápido.

Explicación

œċⱮ8Ẏ§ṢQJƑƤS     Monadic link / Full program.
  Ɱ8             Promote 8 to [1 ... 8] and for each value k:
œċ                    Generate all combinations of k elements from the list.
    Ẏ§           Tighten, then sum. Flatten to a 2D list then sum each.
      ṢQ         Sort the result and remove equal entries.
        JƑƤ      For each prefix of this list, return 1 if it is equal to its length range, 0 otherwise.
           S     Finally, sum the result (counts the 1's which is equivalent to what is being asked).

Haskell, 56 50 bytes

g c=[x|x<-[1..],all((/=x).sum)$mapM(0:)$c<$c]!!0-1

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Un enfoque de fuerza bruta. Agregue 0a la lista de monedas y pruebe todas las combinaciones de 8 selecciones. Encuentra el primer número nque no es igual a la suma de cualquiera de las selecciones y devuelve n-1.

Toma alrededor de 5m30s para [1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610]el hardware de mi laptop de 7 años.

Editar: -6 bytes gracias a @ Ørjan Johansen

Una versión aún más corta (-2 bytes, de nuevo gracias a @ Ørjan Johansen) es

Haskell, 48 bytes

g c=[x|x<-[1..],all((/=x).sum)$mapM(:0:c)c]!!0-1

pero usa mucha más memoria y se encuentra con una gran paginación en mi máquina y no termina "en unos minutos".

Jalea , 9 bytes

Żœċ8§ḟ’$Ṃ

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Cómo funciona

Żœċ8§ḟ’$Ṃ  Main link. Argument: A (array)

Ż          Prepend a 0 to A.
 œċ8       Take all combinations of length 8, with repetitions.
    §      Take the sum of each combination.
       $   Combine the two links to the left into a monadic chain.
      ’      Decrement all sums.
     ḟ       Filterfalse; keep only sums that do not appear in the decremented sums.
        Ṃ  Take the minimum.

Wolfram Language (Mathematica) , 53 bytes

LengthWhile[CoefficientList[(1+Tr[x^#])^8,x],#>0&]-1&

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JavaScript (ES6),  100 88 80  76 bytes

Esta es esencialmente una búsqueda de fuerza bruta, pero mejorada con poda para acelerarla. El tiempo de ejecución promedio para los casos de prueba es cercano a 1 segundo en TIO.

Asume que la matriz de entrada está ordenada de mayor a menor.

a=>[...Array(a[0]*9)].findIndex(g=(i=8,s)=>s*i>0?a.every(x=>g(i-1,s-x)):s)-1

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Comentado

a =>                      // a[] = input array
  [...Array(a[0] * 9)]    // create an array of 9 * max(a) entries
  .findIndex(             // find the position of the first truthy result
    g = (i = 8, s) =>     // g = recursive function taking a counter i, initialized to 8
                          //     and a sum s, initialized to the position in the above array
      s * i > 0 ?         //   if s is positive and i is not equal to 0:
        a.every(x =>      //     for each value x in a[]:
          g(i - 1, s - x) //       do a recursive call with i - 1 and s - x
        )                 //     end of every()
      :                   //   else:
        s                 //     yield s (s = 0 means success and makes findIndex go on)
  ) - 1                   // end of findIndex(); decrement the result

Python 2 , 145 bytes

from itertools import*
x=set(map(sum,reduce(chain,map(combinations_with_replacement,[input()]*9,range(9)))))
print~-min(set(range(1,max(x)+2))-x)

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Pari / GP , 57 bytes

a->n=-1;while(polcoeff((1+sum(i=1,8,x^a[i]))^8,n++),);n-1

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Python 2 , 125 115 111 bytes

lambda c:sum(i==j for i,j in enumerate(sorted(set(map(sum,product([0]+c,repeat=8))))))-1
from itertools import*

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Espera una lista de enteros como entrada.

Explicación:

# an anonymous function
lambda c:
                                                          # get all length-8 combinations of values, from (0,0,0,0,0,0,0,0) to (8,8,8,8,8,8,8,8)
                                                          # zero is added to ensure that combinations of fewer than 8 coins are represented Ex:(1,0,0,0,0,0,0,0)
                                                          product([0]+c,repeat=8)
                                                  # for each combination, sum the values
                                                  map(sum,.......................)
                                       # get unique values, then sort them smallest to largest
                                       sorted(set(................................))
             # for each index, value pair, return if the index is equal to the value
             i==j for i,j in enumerate(.............................................)
         # in Python arithmetic, False is 0 and True is 1. So, count how many items match their index.
         # Since zero was added to the list, there will always be one extra match (0==0). So offset by one.
         sum(........................................................................)-1
from itertools import*

Perl6, 65 63 41 bytes ( 39 37 caracteres)

{@_=(0,|@_)X+(0,|@_)for ^3;($_ if $_==$++for @_.sort.unique)-1}

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Este es un bloque anónimo que pasa sus datos como una matriz. El (0,|@_)es una forma rápida de añadir una 0a @_, y a pesar de que ha hecho dos veces, es todavía un poco más corto que @_.push: 0;el que necesitaría entonces espacios después de la _. Este es un enfoque de fuerza bruta que se basa un poco en el hecho de que son 8 combinaciones. Después de la adición cruzada, se crea una lista anónima para valores secuenciales. Con los operadores matemáticos, las listas se evalúan según su longitud, por lo que el -1 obtiene un doble deber: tener en cuenta el 0 y coaccionar a Int.

Esto puede llevar su tiempo dulce, pero cambiando uno o ambos (0,|@_)a (0,|@_.unique)antes del primero forse puede acelerar considerablemente. Eso agrega +7 (tiempo de ejecución <60s) o +14 (tiempo de ejecución <10s) a la puntuación si siente que el primero es demasiado lento (hice esto para el código vinculado para evitar tiempos de espera después de 60 segundos).

Editar: JoKing en los comentarios lo mejoró (misma idea, suma cruzada, luego devuelve el último resultado consecutivo) a un sorprendente 39 caracteres (41 bytes):

{(@_=@_ X+0,|@_)xx 3;first *+1∉@_,^∞}

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La tabulación final no necesita un 0, ahorrando unos pocos bytes al solo tener que agregar 0 una vez. Los xx 3imita el bucle (todavía quesos en las monedas que son una potencia de 2). El firstsub devuelve el primer número en la lista infinita 0..*(también ^Infes posible, pero no ahorra espacio) que +1no es miembro de la lista cruzada agregada. Al igual que el mío, es lento, así que agregue +7 por un tiempo uniquedespués del primer igual si siente que es demasiado lento para las pautas.

JavaScript (Node.js) , 171 145 115 bytes

f=(s,n=3)=>n?f(s=new Set(a=[0,...s]),n-1,a.map(m=>a.map(n=>s.add(m+n)))):Math.min(...[...s].filter(m=>!s.has(m+1)))

Pruébalo en línea! Puerto de la respuesta de @ Mark's Python 3. 108 bytes en Firefox 30-57:

f=(s,n=3)=>n?f(new Set((for(n of s=[0,...s])for(m of s)n+m)),n-1):Math.min(...[...s].filter(m=>!s.has(m+1)))

Wolfram Language (Mathematica) , 46 bytes

0//.x_/;Min[Tr/@FrobeniusSolve[#,x+1]]<9:>x+1&

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Enfoque de fuerza bruta: comprueba los enteros contando hacia arriba hasta que alcanza un valor que no se puede pagar en 8 monedas. Muy, muy lento (se agota el tiempo de espera), pero estoy bastante seguro de que la condición es correcta.

Limpio , 161 bytes

import StdEnv,Data.List
$l=:[1:_]#k=sort(nub(map sum(iter 8(concatMap(\[h:t]=[[e,h:t]\\e<-[0:l]|e>=h]))[[0]])))
=length(takeWhile((>=)1)(zipWith(-)(tl k)k))
$_=0

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