Si tomamos los números naturales y los enrollamos en sentido antihorario en una espiral, terminamos con la siguiente espiral infinita:

                  ....--57--56
                             |
36--35--34--33--32--31--30  55
 |                       |   |
37  16--15--14--13--12  29  54
 |   |               |   |   |
38  17   4---3---2  11  28  53
 |   |   |       |   |   |   |
39  18   5   0---1  10  27  52
 |   |   |           |   |   |
40  19   6---7---8---9  26  51
 |   |                   |   |
41  20--21--22--23--24--25  50
 |                           |
42--43--44--45--46--47--48--49

Dado un número en esa espiral, su tarea es determinar sus vecinos, es decir, el elemento arriba, izquierda, derecha y debajo de él.

Ejemplo

Si echamos un vistazo 27, podemos ver que tiene los siguientes vecinos:

• encima: 28
• izquierda: 10
• Derecha: 52
• abajo: 26

Entonces la salida sería: [28,10,52,26]

Reglas

• La entrada será un número en cualquier formato de E / S predeterminado$n \geq 0$
• La salida será una lista / matriz / ... de los 4 vecinos de esos números en cualquier orden (¡consistente!)
• Puede trabajar con una espiral que comienza con 1 en lugar de 0, sin embargo, debe especificar eso en su respuesta

Ejemplos

La salida está en el formato [above,left,right,below]y utiliza una espiral basada en 0:

0  ->  [3,5,1,7]
1  ->  [2,0,10,8]
2  ->  [13,3,11,1]
3  ->  [14,4,2,0]
6  ->  [5,19,7,21]
16  ->  [35,37,15,17]
25  ->  [26,24,50,48]
27  ->  [28,10,52,26]
73  ->  [42,72,74,112]
101  ->  [100,146,64,102]
2000  ->  [1825,1999,2001,2183]
1000000  ->  [1004003,1004005,999999,1000001]

R , 156 bytes

function(n){g=function(h)c(0,cumsum(h((4*(0:(n+2)^2)+1)^.5%%4%/%1/2)))
x=g(sinpi)
y=g(cospi)
a=x[n]
b=y[n]
which(x==a&(y==b+1|y==b-1)|y==b&(x==a+1|x==a-1))}

Pruébalo en línea!

• publicó otra respuesta R ya que es un enfoque ligeramente diferente al de @ngn
• 1 indexado
• los vecinos siempre se ordenan por valor ascendente
• guardado 6 bytes eliminando roundy usando, cospi(x)/sinpi(x)que son más precisos que cos(x*pi)/sin(x*pi)en el caso de números medios ( 0.5, 1.5etc.)
• guardó otro byte eliminando las coordenadas menos en y ya que el resultado es el mismo (solo se invierten los vecinos arriba / abajo)

Explicacion:

Si observamos las coordenadas de la matriz de los valores, considerando el primer valor 0colocado en x=0, y=0, son:

x = [0,  1,  1,  0, -1, -1, -1,  0,  1,  2,  2,  2,  2,  1,  0, ...] 
y = [0,  0,  1,  1,  1,  0, -1, -1, -1, -1,  0,  1,  2,  2,  2, ...]

Las xcoordenadas siguen la secuencia A174344 OEIS con la fórmula recursiva:

a(1) = 0, a(n) = a(n-1) + sin(mod(floor(sqrt(4*(n-2)+1)),4)*pi/2)

La misma fórmula es válida para ylas coordenadas de matriz, pero con en coslugar de siny negado:

a(1) = 0, a(n) = a(n-1) - cos(mod(floor(sqrt(4*(n-2)+1)),4)*pi/2)

Entonces, en R podemos traducir la fórmula a esta función, tomando sinpi/cospicomo parámetro:

g=function(h)c(0,cumsum(h((4*(0:(n+2)^2)+1)^.5%%4%/%1/2)))

y generamos los dos vectores de coordenadas (no negamos las coordenadas y, ya que obtendremos el mismo resultado, solo con los vecinos arriba / abajo invertidos):

x=g(sinpi)
y=g(cospi)

Tenga en cuenta que hemos generado (n+2)^2coordenadas, que son más que las coordenadas mínimas necesarias que contienen a ambos ny sus vecinos (un límite más estrecho sería, (floor(sqrt(n))+2)^2pero desafortunadamente es menos "golf").

Por lo tanto, ahora que tenemos todas las coordenadas, primero buscamos las coordenadas a,bcorrespondientes a nuestro n:

a=x[n]
b=y[n]

finalmente seleccionamos las posiciones de sus vecinos, es decir:

• los vecinos arriba / abajo where x == a and y == b+1 or b-1
• los vecinos derecho / izquierdo where y == b and x == a+1 or a-1

utilizando :

which(x==a&(y==b+1|y==b-1)|y==b&(x==a+1|x==a-1))

Perl 6 , 94 83 bytes

{my \ s = 0, | [+] flat ((1, i ... ) Zxx flat (1..Inf Z 1..Inf)); mapa {primero: k, s [$ _] + $ ^ d, s}, i, -1,1, -i}

{my \s=0,|[\+] flat((1,*i...*)Zxx(1,1.5...*));map {first :k,s[$_]+$^d,s},i,-1,1,-i}

Pruébalo en línea!

ses una lista perezosa e infinita de coordenadas espirales, representada como números complejos. Está construido a partir de otras dos listas infinitas: 1, *i ... *hace la lista 1, i, -1, -i .... 1, 1.5 ... *hace que la lista 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5 .... Comprimir estas dos listas junto con la replicación lista produce la lista de pasos de cada espiral de coordenadas a la siguiente: 1, i, -1, -1, -i, -i, 1, 1, 1, i, i, i .... (Las partes fraccionarias de los argumentos de la derecha para el operador de replicación de listas se descartan). Hacer una reducción de suma triangular ( [\+]) en esta lista (y pegar 0 en el frente) produce la lista de coordenadas en espiral.

Por último, a partir del número complejo s[$_]( $_siendo el único argumento de la función), miramos hacia arriba los índices ( first :k) en la espiral de los números complejos que están desplazados de ese número por i, -1, 1, y -i.

Brain-Flak , 238 bytes

((){[()]<((({}[((()))]<>)<<>{((([{}]({}))([{}]{})())[()]){({}[()])<>}{}}>)<<>({}<(((({}{})()){}<>({}))()())<>>)<>>()())<>{{}((()()()[({})]){}<>({}<{}>))(<>)}>}{}){<>((((())()())()())()())(<>)}{}{({}[()]<<>({}<>)<>({}<({}<({}<>)>)>)<>>)}<>

Pruébalo en línea!

La salida está en el orden izquierda, arriba, derecha, abajo.

Explicación

# If n is nonzero:
((){[()]<

  ((

    # Push 1 twice, and push n-1 onto other stack.
    ({}[((()))]<>)

    # Determine how many times spiral turns up to n, and whether we are on a corner.
    # This is like the standard modulus algorithm, but the "modulus" used
    # increases as 1, 1, 2, 2, 3, 3, ...
    <<>{((([{}]({}))([{}]{})())[()]){({}[()])<>}{}}>

  # Push n-1: this is the number behind n in the spiral.
  )<

    # While maintaining the "modulus" part of the result:
    <>({}<

      # Push n+2k+1 and n+2k+3 on top of n-1, where k is 3 more than the number of turns.
      # n+2k+1 is always the number to the right in the direction travelled.
      # If we are on a corner, n+2k+3 is the number straight ahead.
      (((({}{})()){}<>({}))()())<>

    >)<>

  # Push n+1.  If we are on a corner, we now have left, front, right, and back
  # on the stack (from top to bottom)
  >()())

  # If not on a corner:
  <>{{}

    # Remove n+2k+3 from the stack entirely, and push 6-2k+(n+1) on top of the stack.
    ((()()()[({})]){}<>({}<{}>))

  (<>)}

>}{})

# If n was zero instead:
{

  # Push 1, 3, 5, 7 on right stack, and implicitly use 1 (from if/else code) as k.
  <>((((())()())()())()())

(<>)}{}

# Roll stack k times to move to an absolute reference frame
# (switching which stack we're on each time for convenience)
{({}[()]<<>({}<>)<>({}<({}<({}<>)>)>)<>>)}<>

MATL , 15 bytes

2+1YLtG=1Y6Z+g)

La entrada y la salida están basadas en 1.

La salida muestra los vecinos izquierdo, inferior, superior y derecho en ese orden.

Pruébalo en línea! O verifique todos los casos de prueba, excepto los dos últimos, que caducan en TIO.

2+      % Implicit input: n. Add 2. This is needed so that
        % the spiral is big enough
1YL     % Spiral with side n+2. Gives a square matrix
t       % Duplicate
G=      % Compare with n, element-wise. Gives 1 for entry containing n
1Y6     % Push 3×3 mask with 4-neighbourhood
Z+      % 2D convolution, keeping size. Gives 1 for neighbours of the
        % entry that contained n
g       % Convert to logical, to be used as an index
)       % Index into copy of the spiral. Implicit display

R , 172 bytes

function(x,n=2*x+3,i=cumsum(rep(rep(c(1,n,-1,-n),l=2*n-1),n-seq(2*n-1)%/%2))){F[i]=n^2-1:n^2
m=matrix(F,n,n,T)
j=which(m==x,T)
c(m[j[1],j[2]+c(-1,1)],m[j[1]+c(-1,1),j[2]])}

Pruébalo en línea!

Esto es R, por lo que obviamente la respuesta está indexada en 0.

La mayor parte del trabajo es crear la matriz. Código inspirado en: https://rosettacode.org/wiki/Spiral_matrix#R

JavaScript (ES6), 165 bytes

Imprime los índices con alert().

f=(n,x=w=y=n+2)=>y+w&&[0,-1,0,1].map((d,i)=>(g=(x,y,A=Math.abs)=>(k=A(A(x)-A(y))+A(x)+A(y))*k+(k+x+y)*(y>=x||-1))(x+d,y+~-i%2)-n||alert(g(x,y)))|f(n,x+w?x-1:(y--,w))

Pruébalo en línea!

¿Cómo?

$x, y \in \mathbb{Z}$$I_{x,y}$

(adaptado de esta respuesta de math.stackexchange)

Python 2 , 177 164 1 46 144 bytes

def f(n):N=int(n**.5);S=N*N;K=S+N;F=4*N;return[n+[F+3,[-1,1-F][n>K]][n>S],n+[F+5,-1][n>K],n+[[1,3-F][n<K],-1][0<n==S],n+[F+7,1][n<K]][::1-N%2*2]

Pruébalo en línea!

Calcula u,l,r,ddirectamente desde n.

PHP (> = 5.4), 208 bytes

<?$n=$argv[1];for(;$i++<($c=ceil(sqrt($n))+($c%2?2:3))**2;$i!=$n?:$x=-$v,$i!=$n?:$y=+$h,${hv[$m&1]}+=$m&2?-1:1,$k++<$p?:$p+=$m++%2+$k=0)$r[-$v][+$h]=$i;foreach([0,1,0,-1]as$k=>$i)echo$r[$x+$i][$y+~-$k%2].' ';

Para ejecutarlo:

php -n -d error_reporting=0 <filename> <n>

Ejemplo:

php -n -d error_reporting=0 spiral_neighbourhoods.php 2001

O Pruébelo en línea!

Notas:

• La -d error_reporting=0opción se utiliza para no generar avisos / advertencias.
• Esta espiral comienza con 1.

¿Cómo?

Estoy generando la espiral con una versión modificada de esta respuesta en una matriz de 2 dimensiones.

Decido el tamaño de la espiral en función de la entrada ncon una fórmula para obtener siempre una ronda adicional de números en la espiral (garantía de existencia de arriba / abajo / izquierda / derecha). Una ronda adicional de números significa +2en altura y +2en ancho de la matriz bidimensional.

Entonces, si nse ubicará en una espiral con un tamaño máximo de 3*3, entonces la espiral generada será 5*5.

El tamaño de la espiral es c*cdonde c = ceil(sqrt(n)) + k, si ceil(sqrt(n))es impar, entonces kes 2 y si ceil(sqrt(n))es par, entonces kes 3.

Por ejemplo, la fórmula anterior dará como resultado esto:

• Si n = 1entonces c = 3y el tamaño en espiral será3*3
• Si n <= 9entonces c = 5y el tamaño en espiral será5*5
• Si n <= 25entonces c = 7y el tamaño en espiral será7*7
• Si n <= 49entonces c = 9y el tamaño en espiral será9*9
• Y así ...

Mientras que la generación de la espiral, almaceno la xy yde ny después de la generación, la salida I los elementos anteriores / abajo / izquierda / derecha de la misma.