Estamos buscando una secuencia

Toma los números naturales
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14...

Convertir a base-2
1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110...

Concatenar los números anteriores
110111001011101111000100110101011110011011110...

Particionar este número en Prime-Chunks
(trozos que contienen un número primo de dígitos) Los
primos se toman en orden ascendente2,3,5,7,11,13,17...

[11][011][10010][1110111][10001001101][0101111001101][1110...]

y encuentra la suma de los dígitos de cada fragmento

Primes 2 3 5 7 11 13 17
Chunks [11][011][10010][1110111][10001001101][0101111001101][1110...]
SumOfDigits 2 2 2 6 5 8

La secuencia

2, 2, 2, 6, 5, 8, 9, 10, 14, 22, 11, 18, 25, 27, 32, 21, 28, 32, 40, 40, 49, 49, 32, 41, 49, 53, 63, 55, 63, 70, 87, 73, 51, 63, 71, 78, 78, 90, 107, 86, 96, 108, 115, 128, 138, 92, 83, 95, 102, 110, 130, 106, 122, 141, 149, 163, 130, 140, 151, 165, 181, 165, 204, 200, 234, 100, 130, 138, 167, 149, 169, 180, 209, 166, 189, 194, 222, 205, 234, 260, 216, 206, 217, 241, 240, 267, 289, 242, 274, 308, 286, 329, 338, 155, 189, 225, 197, 240, 272, 217, 254, 282, 287, 317, 281, 256, 299, 286, 331, 337, 316, 350, 354, 391, 367, 282, 327, 313, 364, 358, 348, 397, 406, 466 ...

El reto

Encuentra el nthtérmino de la secuencia anterior

Entrada

Un entero n>0

Casos de prueba

1->2   
3->2    
6->8    
36->78 
60->165    
160->581     
260->1099    
350->1345

Esto es codegolf. ¡La respuesta más corta en bytes gana!

Casco , 8 bytes

Σ!CİpṁḋN

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Explicación

Σ!CİpṁḋN
       N   Start with the infinite list of natural numbers.
     ṁḋ    Convert each to its binary representation and join them all together. (A)
   İp      Get the infinite list of primes. (B)
  C        Split (A) into chunks of lengths (B).
 !         Retrieve the nth chunk (where n is the input).
Σ          Sum the bits in this chunk.

Jalea , 12 bytes

RÆNµSRBFṁRṪS

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Cómo funciona

RÆNµSRBFṁRṪS  Main link. Argument: n

R             Range; yield [1, ..., n].
 ÆN           N-th prime; yield P := [p(1), ..., p(n)].
   µ          Begin a new, monadic chain with argument P.
    S         Take the sum of P, yielding s := p(1) + ... + p(n).
     R        Range; yield [1, ..., s].
      B       Binary; convert all integers from 1 to s to base 2.
       F      Flatten the resulting array.
         R    Range; yield [[1, ..., p(1)], ..., [1, ..., p(n)]].
        ṁ     Mold; reshape the result to the left like the result to the right.
          Ṫ   Tail; take the last chunk.
           S  Take the sum, counting the set digits.

05AB1E , 12 bytes

Código

Puede ser bastante lento para grandes cantidades:

ÅpDOLbJs£`SO

Utiliza la codificación 05AB1E . Pruébalo en línea!

Explicación

Åp              # Get a list of the first <input> primes
  DO            # Duplicate and sum the primes
    L           # Create the list [1, .., <sum>]
     bJ         # Convert to binary and join into a single string
       s£       # Get the slices [a[0:2], a[2:2+3], a[2+3:2+3+5], a[2+3+5:2+3+5+7], ...] 
                  corresponding to the list of primes
         `SO    # Get the last one and sum up it's digits

Mathematica, 71 bytes

(Tr/@TakeList[Join@@IntegerDigits[Range[#^2+1],2],Prime~Array~#])[[#]]&   

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Jalea , 21 bytes

RÆNSRBF
RÆN+\‘ṬœṗÇ⁸ịS

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Jalea , 16 bytes

RBFṁ
RÆNSÇṫÆNC$S

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Explicación

RBFṁ  Helper link. Input: integer k
R     Range, [1, 2, ..., k]
 B    Convert each to a list of its binary digits
  F   Flatten
   ṁ  Shape it to length k

RÆNSÇṫÆNC$S  Main link. Input: integer n
R            Range, [1, 2, ..., n]
 ÆN          Get i'th prime for each
   S         Sum
    Ç        Call helper link
         $   Monadic chain
      ÆN       Get n'th prime
        C      Complement, 1 - n'th prime
     ṫ       Tail, take the last n'th prime digits
          S  Sum

R , 206 200 bytes

function(n){a=p=j=y=2
for(i in 2:n-1){while(sum(y)<4*a){x=as.double(rev(intToBits(j)))
y=c(y,x[cumsum(x)>0])
j=j+1}
b=1:a
y=y[-b]
z=outer(k<-b+a,p,'%%')
p=c(a<-k[!apply(z<1,1,sum)][1],p)}
sum(y[1:a])}

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El algoritmo también trata de "ahorrar" en el espacio mediante la eliminación iterativa de bits a medida que avanza por los números primos. Siento que la conversión de decimal a bit probablemente podría ser más corta, pero no pude encontrar otras alternativas.

Guardado 6 bytes gracias a Jonathan French.

JavaScript (ES6), 144 bytes

n=>eval("s=o=j=0;for(i=p=1;n;d>p&&(n--,s+=p))for(p++,d=2;p%d++;);while(b=Math.log2(++j)+1|0,i<=s)for(x=0;x++<b&i<=s;)o+=i++>s-p&&j<<x&1<<b?1:0")

Sin golf

n=>{
    s=o=j=0;
    for(i=p=1;n;d>p&&(n--,s+=p))
        for(p++,d=2;p%d++;);
    while(b=Math.log2(++j)+1|0,i<=s)
        for(x=0;x++<b&i<=s;)
            o+=i++>s-p&&j<<x&1<<b?1:0
    return o
}

Casos de prueba

f=
n=>eval("s=o=j=0;for(i=p=1;n;d>p&&(n--,s+=p))for(p++,d=2;p%d++;);while(b=Math.log2(++j)+1|0,i<=s)for(x=0;x++<b&i<=s;)o+=i++>s-p&&j<<x&1<<b?1:0")

;[1,3,6,36,60,160,260,350].forEach(t=>console.log(t,"->",f(t)))

.as-console-wrapper{max-height:100%!important}

Python 2 , 114 bytes

n=input();k=m=1;p=[0];s=''
exec's+=bin(k)[2:];p+=m%k*[k+p[-1]];m*=k*k;k+=1;'*n*n*2
print s[p[n-1]:p[n]].count('1')

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JavaScript (ES6), 138 132 123 bytes

N=>(n=k=1,g=s=>N?g((P=n=>n%--x?P(n):x<2)(x=++n)?s[n]?s.slice(--N&&n,n/!N):s+(n--,k++).toString(2):s):s.split`1`.length-1)``

Casos de prueba

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Manifestación

Nota: aquí solo se incluyen casos de prueba "seguros" (garantizados para funcionar en Chrome, Firefox y Edge). Es posible que tenga que aumentar el tamaño de la pila de llamadas de su motor para pasar a los otros.

let f =

N=>(n=k=1,g=s=>N?g((P=n=>n%--x?P(n):x<2)(x=++n)?s[n]?s.slice(--N&&n,n/!N):s+(n--,k++).toString(2):s):s.split`1`.length-1)``

console.log(f(1))   // 2
console.log(f(3))   // 2
console.log(f(6))   // 8
console.log(f(36))  // 78
console.log(f(60))  // 165

Formateado y comentado

N => (                            // given N = index of the expected term
  n = k = 1,                      // n = current prime, k = current natural number
  g = s =>                        // g = recursive function taking s = binary string
    N ?                           //   if we haven't reached the correct chunk yet:
      g(                          //     do a recursive call to g():
        (P = n =>                 //       P() returns: true for prime
          n % --x ? P(n) : x < 2) //                    false for composite
        (x = ++n) ?               //       increment n; if n is prime:
          s[n] ?                  //         if s is long enough:
            s.slice(--N && n,     //           either remove this chunk (if N > 0)
                    n / !N)       //           or truncate it to the correct size (if N = 0)
          :                       //         else:
            s + (n--, k++)        //           append the next natural number to s
                .toString(2)      //           in binary format
        :                         //       else:
          s                       //         just look for the next prime
      )                           //     end of recursive call
    :                             //   else:
      s.split`1`.length - 1       //     return the number of 1's in the last chunk
)``                               // initial call to g() with an empty string

Perl 6 , 67 bytes

{(1..*).map(|*.base(2).comb).rotor(grep *.is-prime,2..*)[$_-1].sum}

Pruébalo

Expandido:

{  # bare block lambda with implicit parameter ｢$_｣

  (

    1 .. *                # Range of all numbers starting with 1

  ).map(

    # WhateverCode lambda
    |                     # Slip each of these values into the outer list individually
      *                   # this is the parameter
      .base(2)            # convert base
      .comb               # split into digits


  ).rotor(                # split into chunks

    grep *.is-prime, 2..* # the sequence of prime numbers


  )[ $_ - 1]              # index into it using 1 based indexing

  .sum                    # find the sum
}

Python 2 , 143 139 133 bytes

-4 bytes gracias a @ErikTheOutgolfer

s='1';i=x=1
exec"s=s[i:];i+=1\nwhile~-all(i%x for x in range(2,i)):i+=1\nexec's+=bin(x)[2:];x+=1;'*i;"*input()
print s[:i].count('1')

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J, 48 bytes

([:+/-@{:{.+/{.[:}:[:(#:@[,])/1+[:i.1++/)@:p:@i.

explicado

(                                                         )@:p:@i.  the first n primes, passed to...
       -@{: {.                    ...                               take "nth prime" elements from the tail of...
               +/                                                   sum the first n primes and...
                  {.                                                take that number of elements from...
                     [: }:                                          all but the last element of...   <----------------<
                                          1 + [: i. 1 + +/          sum first n primes, add 1 (so we have enough      |
                                                                    for case n=1) -- make that many natural numbers   |
                           [: (#:@[ , ])/                           reduce them by turning into lists of binary       |
                                                                    digits and catting, however the rightmost number  |
                                                                    won't get reduced, hence the need for ------------^
([: +/                                                              and sum those digits

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JavaScript 1+ + substr, 135 bytes

for(n=prompt(s=P=0),i=n*n*n*8;--i;)s=i.toString(2)+s;for(p=1;n;e=j?s:--n?P+=p:s.substr(P,p))for(j=p++;p%j--;);eval([].join.call(e,'+'))