Para aquellos de ustedes que no están familiarizados, el problema de la colegiala de Kirkman es el siguiente:

Quince señoritas en una escuela salen tres juntas por siete días seguidos: es necesario organizarlas diariamente para que no dos caminen dos veces juntas.

Podríamos ver esto como una lista anidada de 3 por 5 (o matriz):

[[a,b,c]
 [d,e,f]
 [g,h,i]
 [j,k,l]
 [m,n,o]]

Esencialmente, el objetivo del problema original es descubrir 7 formas diferentes de organizar la matriz anterior para que dos letras nunca compartan una fila más de una vez . De MathWorld (vinculado anteriormente), encontramos esta solución:

[[a,b,c]   [[a,d,h]   [[a,e,m]   [[a,f,i]   [[a,g,l]   [[a,j,n]   [[a,k,o]
 [d,e,f]    [b,e,k]    [b,h,n]    [b,l,o]    [b,d,j]    [b,i,m]    [b,f,g]
 [g,h,i]    [c,i,o]    [c,g,k]    [c,h,j]    [c,f,m]    [c,e,l]    [c,d,n]
 [j,k,l]    [f,l,n]    [d,i,l]    [d,k,m]    [e,h,o]    [d,o,g]    [e,i,j]
 [m,n,o]]   [g,j,m]]   [f,j,o]]   [e,g,n]]   [i,k,n]]   [f,h,k]]   [h,l,m]]

Ahora, ¿y si hubiera un número diferente de colegialas? ¿Podría haber un octavo día? ^† Este es nuestro desafío.

_{^† En este caso, no ^†† , pero no necesariamente para otras dimensiones de matriz
^†† Podemos mostrar esto fácilmente, ya que aaparece en una fila con todas las demás letras.}

El reto:

Dada una entrada de dimensiones (filas, de columnas) de una matriz de colegialas (es decir 3 x 5, 4 x 4, o [7,6], [10,10], etc.), de salida de la mayor cantidad posible de 'día' que se ajustan a los requisitos especificados anteriormente.

Entrada: las
dimensiones de la matriz de colegiala (cualquier forma de entrada razonable que desee).

Salida: la
serie más grande posible de matrices que se ajustan a los requisitos anteriores (cualquier forma razonable).

Casos de prueba:

Input:  [1,1]
Output: [[a]]

Input:  [1,2]
Output: [[a,b]]

Input:* [2,1]
Output: [[a]
         [b]]

Input:  [2,2]
Output: [[a,b]  [[a,c]  [[a,d]
         [c,d]]  [b,d]]  [b,c]]

Input:  [3,3]
Output: [[a,b,c]  [[a,d,g]  [[a,e,i]  [[a,f,h]
         [d,e,f]   [b,e,h]   [b,f,g]   [b,d,i]
         [g,h,i]]  [c,f,i]]  [c,d,h]]  [c,e,g]]

Input:  [5,3]
Output: [[a,b,c]   [[a,d,h]   [[a,e,m]   [[a,f,i]   [[a,g,l]   [[a,j,n]   [[a,k,o]
         [d,e,f]    [b,e,k]    [b,h,n]    [b,l,o]    [b,d,j]    [b,i,m]    [b,f,g]
         [g,h,i]    [c,i,o]    [c,g,k]    [c,h,j]    [c,f,m]    [c,e,l]    [c,d,n]
         [j,k,l]    [f,l,n]    [d,i,l]    [d,k,m]    [e,h,o]    [d,o,g]    [e,i,j]
         [m,n,o]]   [g,j,m]]   [f,j,o]]   [e,g,n]]   [i,k,n]]   [f,h,k]]   [h,l,m]]

There may be more than one correct answer. 

_{* Gracias a @Frozenfrank por corregir el caso de prueba 3 : si solo hay una columna, solo puede haber un día, ya que el orden de las filas no importa.}

Esta es una competencia de código de golf : gana la respuesta más corta.

Mathematica, 935 bytes

Inp={5,4};L=Length;T=Table;ST[t_,k_,n_]:=Binomial[n-1,t-1]/Binomial[k-1,t-1];H=ToExpression@Alphabet[];Lo=Inp[[1]]*Inp[[2]];H=H[[;;Lo]];Final={};ST[2,3,12]=4;ST[2,4,20]=5;If[Inp[[2]]==1,Column[Partition[H,{1}]],CA=Lo*Floor@ST[2,Inp[[2]],Lo];While[L@Flatten@Final!=CA,Final={};uu=0;S=Normal[Association[T[ToRules[H[[Z]]==Prime[Z]],{Z,L@H}]]];PA=Union[Sort/@Permutations[H,{Inp[[2]]}]];PT=Partition[H,Inp[[2]]];While[L@PA!=0,AppendTo[Final,PT];Test=Flatten@T[Times@@@Subsets[PT[[X]],{2}]/.S,{X, L@PT}];POK=T[Times@@@Subsets[PA[[Y]],{2}]/.S,{Y,L@PA}];Fin=Select[POK,L@Intersection[Test,#]==0&];Facfin=T[FactorInteger[Fin[[V]]],{V,L@Fin}];end=T[Union@Flatten@T[First/@#[[W]],{W,L@#}]&[Facfin[[F]]],{F,L@Facfin}]/.Map[Reverse,S];PA=end;PT=DeleteDuplicates[RandomSample@end,Intersection@##=!={}&];If[L@Flatten@PT<L@H,While[uu<1000,PT=DeleteDuplicates[RandomSample@end,Intersection@##=!={}&];If[L@Flatten@PT==L@H,Break[],uu++]]]]];Grid@Final]

esto es para 26 damas max

EDITAR
Hice algunos cambios y creo que funciona! El código ahora está configurado para resolver [5,4] (que es el "problema de los golfistas sociales") y obtiene el resultado en unos segundos. Sin embargo, el problema [5,3] es más difícil y tendrá que esperar entre 10 y 20 minutos, pero obtendrá la combinación correcta para todos los días. Para casos más fáciles es muy rápido.

de todos modos, puede probarlo y ver los resultados
Pruébelo en línea aquí,
copie y pegue usando ctrl-v
presione shift + enter para ejecutar el código
, puede cambiar la entrada al comienzo del código -> Inp = {5,4}
ejecute codificar varias veces para obtener diferentes permutaciones