¿Cómo Kepler "adivinó" su tercera ley a partir de los datos?

Es sorprendente que Kepler determine sus tres leyes al observar los datos, sin una calculadora y usando solo lápiz y papel. Es concebible cómo demostró que sus leyes describían los datos después de haberlos conjeturado, pero lo que no entiendo es cómo los adivinó en primer lugar.

Me centraré en particular en la tercera ley de Kepler, que establece que el cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo del eje semi mayor de la órbita.

Supongo que Kepler estaba trabajando solo con datos sobre los planetas, además de nuestra propia luna y el sol. Hago esta suposición porque no creo que Kepler tuviera datos sobre otras lunas, cometas o asteroides, que aún no habían sido observados por el telescopio. Si esto es cierto, sabiendo que Neptuno, Urano y Plutón aún no fueron descubiertos cuando Kepler estaba vivo, esto significa que Kepler tenía menos de 9 puntos de datos para trabajar.

Mi amigo afirma que es totalmente concebible cómo Kepler adivinó esta relación (aunque no proporciona ningún método de cómo Kepler podría haberlo hecho), y también que las observaciones de Kepler "no son tan difíciles". Como desafío, le di a mi amigo una tabla de datos con una columna etiquetada , la otra , y 9 coordenadas que se ajustan a la relación . Le dije "por favor encuentre la relación entre e ", y como es de esperar, él no lo hizo.$x$$y$x 4 = y 3 x $(x,y)$$x^4=y^3$$x$$y$

Por favor explíqueme cómo demonios Kepler adivinó esta relación trabajando con tan pocos puntos de datos. Y si mi suposición de que el número de puntos de datos que Kepler tenía a su disposición es pequeña, es incorrecta, entonces todavía creo que es bastante difícil adivinar esta relación sin una calculadora.

La tercera ley de Kepler es trivial (en mi opinión) en comparación con su primera ley. Estoy bastante impresionado de que haya podido deducir que las órbitas eran elipses. Para obtener eso, tuvo que ir y venir trazando la dirección de Marte desde la Tierra y la dirección de la Tierra desde Marte. Sabía la duración de los años de ambos planetas, por lo que las observaciones tomadas con un año de diferencia de Marte solo diferirían porque la Tierra se había movido.

Pero tal vez no sea tan trivial. Publicó sus dos primeras leyes en 1609. La tercera ley no apareció hasta diez años más tarde, en 1619. Con diez años para trabajar en ello, incluso se encontrará la relación más oscura.

$x^4 = y^3$$3/4$

El momento es el correcto. Napier publicó su libro sobre logaritmos en 1614. Kepler pudo haber aplicado por capricho esta nueva herramienta matemática brillante a sus viejos datos crujientes.

El obstáculo principal era que en ese momento solo había seis planetas conocidos, por lo que no tenía una gran cantidad de puntos de datos, y los que tenía no eran en absoluto precisos.

El otro problema de Kepler es que ninguna de sus leyes tenía sentido para él. Se ajustan a los datos, pero no tenía idea de por qué. No tenía las leyes de movimiento de Newton para trabajar, no entendía la fuerza, el momento, el momento angular, y ciertamente no la gravedad. Hasta donde él sabía, los planetas se movían como lo hicieron porque Dios lo decretó, y los ángeles tenían la tarea de empujar los planetas a lo largo de sus órbitas. Los planetas exteriores se movieron más lentamente porque estaban siendo empujados por ángeles menores.

(Feynman hace el comentario de que ahora entendemos mucho más. Ahora sabemos que los ángeles están afuera empujando hacia el Sol).

La explicación de Kepler de cómo surgió la tercera ley es la siguiente (Caspar p.286; el énfasis es mío):

El 8 de marzo de este año 1618, si se desea información exacta sobre la hora, apareció en mi cabeza. Pero tuve mala suerte cuando lo inserté en el cálculo y lo rechacé como falso. Finalmente, el 15 de mayo, volvió de nuevo y con un nuevo comienzo conquistó la oscuridad de mi mente, mientras que allí siguió un acuerdo tan excelente entre mis diecisiete años de trabajo en las observaciones Tychonic y mi deliberación actual que al principio creía que había soñado y asumir lo buscado en las pruebas de apoyo. Pero es completamente cierto y exacto que la proporción entre los tiempos periódicos de cualquiera de los dos planetas es precisamente una vez y media la proporción de las distancias medias .

Aunque Kepler en realidad no describe la inspiración que lo llevó a creer esto, la frase curiosa proporciona una pista muy fuerte cuando se combina con alguna información biográfica de fondo:

1. John Napier publicó Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto en 1614, que contenía la entonces nueva invención de logaritmos. Kepler estaba al tanto del trabajo de Napier en 1617 (Caspar p. 308), tal vez antes.
2. Joost Bürgi publicó trabajos sobre logaritmos casi al mismo tiempo que Napier, y Kepler era igualmente consciente de Bürgi, incluso elogió sus habilidades matemáticas por haber superado a la mayoría de los profesores de matemáticas.

Por lo tanto, la declaración de Kepler es equivalente a decir que los datos hacen una pendiente de 1.5 en un gráfico log-log, que es una relación lineal muy simple en esta escala.

Referencias

1. Caspar, Max, Kepler , (Dover, Nueva York, 1993).