Cambios en la órbita de la Tierra.

Las ayudas por gravedad como esta son una forma de colisión elástica. Aquí hay un poco de cálculo numérico (¡espero que no haya errores!), Por lo que querrá familiarizarse con los conceptos básicos del impulso, la energía cinética y la conservación de los mismos.

Pregunta: Si Ceres (el asteroide más grande conocido y de casi 500 km de diámetro) usara la Tierra para realizar una asistencia de gravedad para aumentar su propia velocidad, ¿en cuánto reduciría la velocidad de la Tierra y cuánto más se volvería la órbita de la Tierra?

La velocidad orbital de la Tierra alrededor del sol es . Entonces, a una masa de $U = 29.8~\mathrm{km~s}^{-1}$

M = 5.97 \times 10^{24} k g,

$M = 5.97\times 10^{24}~\mathrm{kg},$

tiene una energía cinética de

K = 2.65 \times 10^{33} J

$K = 2.65\times 10^{33}~\mathrm{J}$ e impulso

P = 1.78 \times 10^{29} k g m s^{- 1} .

$P = 1.78\times 10^{29}~\mathrm{kg~m~s^{-1}}.$

Entonces, digamos que Ceres está realizando una honda gravitacional como en el diagrama simple a continuación. Ceres tiene una masa . Se acerca a la Tierra a la velocidad , y después de la honda su velocidad final es (hasta, para un objeto de baja masa) una velocidad de . $m = 9.47 \times 10^{20}~\mathrm{kg}$ $v$ $2\times U+v$

ingrese la descripción de la imagen aquí

El ímpetu total del sistema debe conservarse . Ceres ha cambiado de dirección y, por lo tanto, ha ganado una cantidad significativa de impulso en la dirección hacia la izquierda: el mismo impulso que la Tierra debe perder. La energía cinética también se conserva. Entonces, tenemos un sistema de ecuaciones, donde los subíndices i y f son momentos y velocidades iniciales y finales. M y U son la masa y la velocidad de la Tierra, myv son las de Ceres.

M U_{i}^{2} + m v_{i}^{2} = M U_{f}^{2} + m v_{f}^{2}

$MU_i^2 + mv_i^2 = MU_f^2 + mv_f^2$

que dice que la suma de las energías cinéticas iniciales de los dos objetos debe ser igual a la suma de la energía cinética final. También tenemos conservación del impulso:

M U_{i} + m {\vec{v}}_{i} = M U_{f} + m {\vec{v}}_{f}

$MU_i + m\vec{v}_i = MU_f + m\vec{v}_f$

Resolviendo estas ecuaciones, la solución es

v_{f} = \frac{(1 - m / M) v_{i} + 2 U_{i}}{1 - m / M}

$v_f = \frac{(1-m/M)v_i + 2U_i}{1-m/M}$

Si Ceres se acercó a la Tierra en , obtengo una solución de , incluso para un objeto tan masivo , la es extremadamente buena. Esto significa que la velocidad de Ceres casi se ha triplicado por la asistencia de gravedad. $v_i = 30~\mathrm{km~s}^{-1}$ $v_f = 89.6~\mathrm{km~s}^{-1}$ $v_f \approx 2U+v$

Entonces, el impulso final de la Tierra es

M U_{f} = M U_{i} - m v_{i} - m v_{f} = 1.78 \times 10^{29} k g m s^{- 1}

$MU_f = MU_i - mv_i - mv_f = 1.78 \times 10^{29}~ \mathrm{kg~m~s^{-1}}$

De hecho, el impulso lineal de la Tierra solo disminuirá en . A partir de este cambio en el momento y la masa de la Tierra, encontramos que su velocidad orbital disminuye en . $mv_i + mv_f = 1.13 \times 10^{23} ~\mathrm{kg~m~s^{-1}}$ $0.019~\mathrm{m~s}^{-1}$

Aproximando una órbita circular (usando ), la órbita de la Tierra se amplía en 190 km. Parece mucho, ¡pero ten en cuenta que eso es 190 km de 150 millones! $r=GM_{sun} / v^2$

Ceres es muchos órdenes de magnitud más grande que cualquier satélite que podamos lanzar. Por lo tanto, nunca podríamos usar prácticamente naves espaciales para cambiar nuestra órbita significativamente, e incluso un enorme asteroide cercano a la falla sería de poca consecuencia. ¡Pero no ha impedido que algunos lo intenten !

Moriarty
fuente

Estoy confundido por la afirmación en su respuesta de que, si la Tierra se ralentiza, su órbita se ensancha (lo que supongo significa que se aleja más del Sol). Eso implica que, a medida que la Tierra pierde energía, se alejará del Sol; en lugar de caer hacia él (que era mi comprensión de la física y la gravedad newtoniana). Obviamente me estoy perdiendo algo.

dav1dsm1th

@ dav1dsm1th Es una manifestación de la Tercera Ley de Kepler . Otra forma de pensar es que a medida que la Tierra se aleja del Sol, gana energía potencial gravitacional a cambio de energía cinética.

Moriarty

Voy a tener que leer un poco más ... No puedo entender la idea de que la Tierra podría perder una cantidad significativa de su energía cinética (en un encuentro muy poco probable con un cuerpo grande) y terminar volando lejos del Sol, en lugar de caer hacia él. Gracias por la respuesta.

dav1dsm1th

Si Ceres comienza a alejarse del Sol y el impulso orbital hace que se mueva hacia el Sol, entonces, para conservar el impulso, la velocidad de la Tierra lejos del Sol puede aumentar. Ceres recibe un impulso hacia el Sol, la Tierra recibe un impulso lejos del Sol. Es este cambio de velocidad lo que puede resultar en una órbita más grande. Como nota, creo que el semieje mayor de la Tierra aumenta, pero también lo hace la excentricidad de su órbita.

barrycarter

El cambio en la excentricidad orbital dependería de dónde tuvo lugar la colisión. Como se indicó en mi ejemplo, asumí órbitas circulares para limitar el alcance de la respuesta. En realidad, nuestra órbita es excéntrica, y los cambios en las longitudes de los ejes semimajor y semiminor de nuestra órbita dependerán de qué tan cerca estemos del perihelio y del afelio. Si la Tierra pierde impulso cerca del perihelio, perderemos la excentricidad. Si perdemos impulso cerca del afelio, ganaremos excentricidad. Al menos, eso es lo que programa espacial Kerbal me enseñó :)

Moriarty

Cambios en la órbita de la Tierra.

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