Ignorando la expansión del universo, la entropía, las órbitas en descomposición y la interferencia de cualquier cuerpo que choque o interfiera con sus órbitas , ¿se alinearán alguna vez los ocho planetas conocidos en nuestro sistema solar?

¿Cuál es el "período" de los planetas; ¿con qué frecuencia se alinearían perfectamente? Y en función de sus posiciones actuales, ¿qué tan lejos en el futuro está su próxima alineación teórica?

Esta es una respuesta de baja precisión, pero simple

Le permite calcular solo la configuración de alineación radial de los planetas.

Si desea una aproximación, digamos, si aproxima la posición de los planetas como manecillas en un reloj, podría resolver las matemáticas de esta manera.

Suponga que es el ángulo inicial para el planeta i en el tiempo t 0 , medido desde una posición arbitraria pero fija, y l i es la duración del año, en días, para el planeta i .$\theta_i$$i$$t_0$$l_i$$i$

Luego se reanuda para resolver este sistema de ecuaciones:

$$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$$

Desde aquí, simplemente aplicaría el teorema del resto chino .

Encontrar el mínimo x, le dará el ángulo que el planeta que en tenía ángulo θ i = 0 habría viajado hasta alcanzar una configuración de alineación . Suponiendo que elija la Tierra como el planeta mencionado, luego divida ese ángulo por una revolución completa ( 360 o ) y obtendrá el número de años para alcanzar esa configuración, desde la configuración t 0 .$t_0$$\theta_i = 0$$360^{o}$$t_0$

$\theta_i$$t_0$

$$\begin{align} Mercury &\quad 285.55 \\Venus &\quad 94.13 \\Earth &\quad 100.46 \\Mars &\quad 155.60 \\Jupiter &\quad 104.92 \\Saturn &\quad 226.71 \\Uranus &\quad 11.93 \\Neptune &\quad 334.90 \end{align}$$

Fuente

$l_i$

$$\begin{align} Mercury &\quad 88 \\Venus &\quad 224.7 \\Earth &\quad 365.26 \\Mars &\quad 687 \\Jupiter &\quad 4332.6 \\Saturn &\quad 10759.2 \\Uranus &\quad 30685.4 \\Neptune &\quad 60189 \end{align}$$

$x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$$360^{o}$

$$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$$

Editar 1

Acabo de encontrar este sitio con el que te gustaría jugar. Es una aplicación flash interactiva con la posición precisa de los planetas.

También sé que toda la información se puede obtener de esta página de la NASA y eso es lo más preciso que puede obtener, pero ahora es incomprensible para mí. Intentaré revisarlo más tarde cuando encuentre tiempo.

También este libro de Jean Meeus llamado Algoritmos astronómicos cubre todas las ecuaciones y fórmulas fundamentales; sin embargo, no tiene nada que ver con los algoritmos de programación.

Editar 2

$\tt{telnet}$

La respuesta correcta es ' nunca ', por varias razones. Primero , como se señala en el comentario de Florin, las órbitas del planeta no son coplanares y, por lo tanto, no pueden alinearse, incluso si cada planeta pudiera colocarse arbitrariamente en su plano orbital. En segundo lugar , incluso la alineación radial pura nunca ocurre porque los períodos del planeta son inconmensurables; sus proporciones no son números racionales. Finalmente , las órbitas de los planetas evolucionan en escalas temporales de millones de años, principalmente debido a su atracción gravitacional mutua. Esta evolución es (débilmente) caótica y, por lo tanto, impredecible durante mucho tiempo.

La respuesta incorrecta de harogastón esencialmente se aproxima a los períodos orbitales por los números conmensurables más cercanos, produciendo un tiempo muy largo (aunque se equivocó por un factor de solo ).$10^{16}$

Una pregunta mucho más interesante (y quizás la que realmente le interesaba) es con qué frecuencia los 8 planetas casi se alinean radialmente . Aquí, ' casi ' podría significar simplemente ' dentro de como se ve desde el Sol$10^\circ$ '. En tal ocasión, la atracción gravitacional mutua de los planetas se alineará y, por lo tanto, dará como resultado cambios orbitales más fuertes que el promedio.

Hay una manera mucho más fácil de hacer esto.

1) Busque la duración del año solar en días terrestres

2) multiplique la longitud de los años de esta manera: año Mercurio * año Venus * año Tierra * año marciano * año joviano * año Saturno * año Urano * año Neptuno

3) Divide entre 365 para obtener años terrestres.

Y tiene un momento en que se alinearán nuevamente longitudinalmente (lo que significa que los ángulos serán diferentes pero desde una vista superior formarían una línea). No se alineará a una frecuencia más alta porque algunos de estos planetas tienen un número decimal de días terrestres en su año.

Técnicamente, la verdadera forma de encontrar el período entre la alineación de los 8 planetas es encontrar el MCM de las 8 longitudes de sus años.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Entiendo que esta es una estimación aproximada ya que se redondean al número entero más cercano, pero da una buena idea del número de días que tomaría

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Eso es cuántos años.

Cualquier estimación del período común de más de dos planetas (es decir, ¿después de cuánto tiempo vuelven a alinearse aproximadamente en longitud heliocéntrica?) Depende en gran medida de cuánta desviación de la alineación perfecta sea aceptable.

Si el período del planeta es , y si la desviación aceptable en el tiempo es (en las mismas unidades que ), entonces el período combinado de todos los planetas es aproximadamente así que reducir la desviación aceptable en un factor de 10 significa aumentar el período común en un factor de$i$$P_i$$b$$P_i$$P$$n$

$$P \approx \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$ $10^{n-1}$, que para 8 planetas es un factor de 10,000,000. Por lo tanto, no tiene sentido citar un período común si no especifica también cuánta desviación era aceptable. Cuando la desviación aceptable disminuye a 0 (para lograr la "alineación perfecta"), el período común aumenta hasta el infinito. Esto corresponde a las declaraciones de varios comentaristas de que no hay un período común porque los períodos no son proporcionales.

Para los períodos de los planetas listados por harogastón, cuando los se miden en años julianos de 365.25 días cada uno, por lo que el período común en años es aproximadamente si se mide en años. Si los períodos se aproximan al día más cercano, entonces años y años. Si los períodos se aproximan al día 0.01 más cercano, entonces y años.$\prod_i P_i \approx 1.35\times10^6$$P_i$

$$P \approx \frac{1.35\times10^6}{b^7}$$ $b$$b \approx 0.00274$$P \approx 1.2\times10^{24}$$b \approx 2.74\times10^{-5}$$P \approx 1.2\times10^{38}$

La derivación de la fórmula anterior es la siguiente:

Aproxime los períodos de los planetas por múltiplos de una unidad base : donde es un número entero. Entonces, el período común es como máximo igual al producto de todo . Ese producto todavía se mide en unidades de ; debemos multiplicar por para volver a las unidades originales. Entonces, el período común es aproximadamente$b$$P_i \approx p_i b$$p_i$$p_i$$b$$b$

$$P \approx b \prod_i p_i \approx b \prod_i \frac{P_i}{b} = b \frac{\prod_i P_i}{b^n} = \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$

La derivación anterior no tiene en cuenta que el podría tener factores comunes, por lo que la alineación se produce antes de lo que sugiere. Sin embargo, si dos tienen o no factores comunes depende en gran medida del período base elegido , por lo que es efectivamente una variable aleatoria y no afecta la dependencia global de en .∏ i p i p i b P $p_i$$\prod_i p_i$$p_i$$b$$P$$b$

Si expresa la desviación aceptable en términos de ángulo en lugar de tiempo , entonces espero que obtenga respuestas que dependen tanto del tamaño de la desviación aceptable como de la fórmula anterior.

Ver http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html para obtener un gráfico de en función de para todos los planetas, incluido Plutón.$P$$b$

EDITAR:

Aquí hay una estimación con una desviación aceptable en términos de ángulo . Queremos que todos los planetas estén dentro de un rango de longitud de ancho centrado en la longitud del primer planeta; La longitud del primer planeta es libre. Suponemos que todos los planetas se mueven en la misma dirección en órbitas circulares coplanares alrededor del Sol.$δ$

Debido a que los períodos de los planetas no son proporcionales, todas las combinaciones de longitudes de los planetas ocurren con la misma probabilidad. La probabilidad que en algún momento específico la longitud del planeta encuentre dentro del segmento de ancho centrado en la longitud del planeta 1 es igual a$q_i$$i > 1$$δ$

$$q_i = \frac{δ}{360°}$$

La probabilidad que los planetas 2 a estén todos dentro del mismo segmento de longitud centrado en el planeta 1 es entonces$q$$n$

$$q = \prod_{i=2}^n q_i = \left( \frac{δ}{360°} \right)^{n-1}$$

Para traducir esa probabilidad a un período promedio, necesitamos estimar cuánto tiempo están alineados todos los planetas (dentro de ) cada vez que están todos alineados.$δ$

Los primeros dos planetas que pierden su alineamiento mutuo son los planetas más rápidos y lentos. Si su período sinódico es , estarán alineados durante un intervalo y luego desalineados durante un tiempo antes de volver a alinearse. Entonces, cada alineación de todos los planetas dura aproximadamente un intervalo , y todas esas alineaciones juntas cubren una fracción de todos los tiempos. Si el período promedio después del cual ocurre otra alineación de todos los planetas es , entonces debemos tener , entonces$P_*$

$$A = P_* \frac{δ}{360°}$$ $A$$q$$P$$qP = A$ $$P = \frac{A}{q} = P_* \left( \frac{360°}{δ} \right)^{n-2}$$

Si solo hay dos planetas, entonces independientemente de , que es como se esperaba.$P = P_*$$δ$

Si hay muchos planetas, entonces el planeta más rápido es mucho más rápido que el más lento, por lo que es casi igual al período orbital del planeta más rápido.$P_*$

Aquí, también, la estimación del tiempo promedio entre alineaciones sucesivas es muy sensible al límite de desviación elegido (si hay más de dos planetas involucrados), por lo que no tiene sentido citar un período tan combinado si no menciona qué se permitió la desviación.

También es importante recordar que (si hay más de dos planetas) estas (casi) alineaciones de todos ellos no ocurren a intervalos regulares.

Ahora conectemos algunos números. Si desea que los 8 planetas se alineen dentro de 1 grado de longitud, entonces el tiempo promedio entre dos de estas alineaciones es aproximadamente igual a órbitas del planeta más rápido. Para el Sistema Solar, Mercurio es el planeta más rápido, con un período de aproximadamente 0.241 años, por lo que el tiempo promedio entre dos alineaciones de los 8 planetas dentro de 1 grado de longitud es de aproximadamente años.$P = 360^6 = 2.2×10^{15}$$5×10^{14}$

Si ya está satisfecho con una alineación dentro de los 10 grados de longitud, entonces el período promedio entre dos de estas alineaciones es aproximadamente igual a órbitas de Mercurio, que es de aproximadamente 500 millones de años.$P = 36^6 = 2.2×10^9$

¿Cuál es la mejor alineación que podemos esperar durante los próximos 1000 años? 1000 años son aproximadamente 4150 órbitas de mercurio, entonces , entonces . En un intervalo de 1000 años elegido al azar, hay en promedio una alineación de los 8 planetas dentro de un segmento de 90 °.$(360°/δ)^6 \approx 4150$$δ \approx 90°$